496: バウンダリー（境界）付きC∞マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいてCkであるものに対して、レンジ（値域）を包含するコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）はポイントにおいてCkである

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バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$であるものに対して、レンジ（値域）を包含するコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）はポイントにおいて$C^k$であることの記述/証明

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話題

About: バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$なもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、レンジ（値域）を包含する任意のコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意の（空かもしれない）バウンダリー（境界）　付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち$M_1,M_2$、任意のサブセット（部分集合）たち$S_1\subseteq M_1,S_2\subseteq M_2$、任意のポイント$p\in S_1$、任意のナチュラルナンバー（自然数）（0を含む）または$\mathrm{\infty }$の$k$、以下を満たす任意のマップ（写像）$f:S_1\to S_2$、つまり、$f$は$p$において$C^k$である、以下を満たす任意のサブセット（部分集合）$S_2^{\prime }\subseteq M_2$、つまり、$f(S_1)\subseteq S_2^{\prime }$、に対して、コドメイン（余域）リストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）$f^{\prime }:S_1\to S_2^{\prime }$は$p$において$C^k$である。

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2: 証明

$k=0$であると仮定しよう。

$U_{f^{\prime }(p)}\subseteq S_2^{\prime }$は$f^{\prime }(p)$の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）であるとしよう。$U_{f^{\prime }(p)}=U_{f^{\prime }(p)}^{\prime }\cap S_2^{\prime }$、ここで、$U_{f^{\prime }(p)}^{\prime }\subseteq M_2$は$f^{\prime }(p)$の$M_2$上のオープンネイバーフッド（開近傍）である。$U_{f^{\prime }(p)}^{″}=U_{f^{\prime }(p)}^{\prime }\cap S_2\subseteq S_2$を$f^{\prime }(p)$の$S_2$上のオープンネイバーフッド（開近傍）としよう。$p$の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq S_1$、つまり、$f^{\prime }(U_p)=f(U_p)\subseteq U_{f^{\prime }(p)}^{″}$、がある。すると、$f^{\prime }(U_p)\subseteq U_{f^{\prime }(p)}$、なぜなら、$f^{\prime }(U_p)\subseteq U_{f^{\prime }(p)}^{\prime }\cap S_2^{\prime }=U_{f^{\prime }(p)}$。

$\mathrm{\infty }$を含んで$1\le k$であると仮定しよう。

以下を満たす$p$の周りのあるチャート$(U_p^{\prime }\subseteq M_1,{\varphi }_p^{\prime })$および$f(p)$の周りのあるチャート$(U_{f(p)}\subseteq M_2,{\varphi }_{f(p)})$、つまり、$f(U_p^{\prime }\cap S_1)\subseteq U_{f(p)}$および${\varphi }_{f(p)}\circ f\circ {{\varphi }_p^{\prime }}^{-1}{|}_{{\varphi }_p^{\prime }(U_p^{\prime }\cap S_1)}:{\varphi }_p^{\prime }(U_p^{\prime }\cap S_1)\to {\varphi }_{f(p)}(U_{f(p)})$は${\varphi }_p^{\prime }(p)$において$C^k$である、がある。

しかし、同じチャートたちペアが$f^{\prime }$に対して使える、なぜなら、$f^{\prime }(U_p^{\prime }\cap S_1)\subseteq U_{f(p)}$および${\varphi }_{f(p)}\circ f^{\prime }\circ {{\varphi }_p^{\prime }}^{-1}{|}_{{\varphi }_p^{\prime }(U_p^{\prime }\cap S_1)}:{\varphi }_p^{\prime }(U_p^{\prime }\cap S_1)\to {\varphi }_{f(p)}(U_{f(p)})$は${\varphi }_p^{\prime }(p)$において$C^k$である。

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参考資料

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