バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるものに対して、レンジ（値域）を包含するコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）はポイントにおいて\(C^k\)であることの記述/証明
話題
About: バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、レンジ（値域）を包含する任意のコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の（空かもしれない）バウンダリー（境界） 付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち\(M_1, M_2\)、任意のサブセット（部分集合）たち\(S_1 \subseteq M_1, S_2 \subseteq M_2\)、任意のポイント\(p \in S_1\)、任意のナチュラルナンバー（自然数）（0を含む）または\(\infty\)の\(k\)、以下を満たす任意のマップ（写像）\(f: S_1 \to S_2\)、つまり、\(f\)は\(p\)において\(C^k\)である、以下を満たす任意のサブセット（部分集合）\(S'_2 \subseteq M_2\)、つまり、\(f (S_1) \subseteq S'_2\)、に対して、コドメイン（余域）リストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）\(f': S_1 \to S'_2\)は\(p\)において\(C^k\)である。
2: 証明
\(k = 0\)であると仮定しよう。
\(U_{f' (p)} \subseteq S'_2\)は\(f' (p)\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）であるとしよう。\(U_{f' (p)} = U'_{f' (p)} \cap S'_2\)、ここで、\(U'_{f' (p)} \subseteq M_2\)は\(f' (p)\)の\(M_2\)上のオープンネイバーフッド（開近傍）である。\(U''_{f' (p)} = U'_{f' (p)} \cap S_2 \subseteq S_2\)を\(f' (p)\)の\(S_2\)上のオープンネイバーフッド（開近傍）としよう。\(p\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq S_1\)、つまり、\(f' (U_p) = f (U_p) \subseteq U''_{f' (p)}\)、がある。すると、\(f' (U_p) \subseteq U_{f' (p)}\)、なぜなら、\(f' (U_p) \subseteq U'_{f' (p)} \cap S'_2 = U_{f' (p)}\)。
\(\infty\)を含んで\(1 \le k\)であると仮定しよう。
以下を満たす\(p\)の周りのあるチャート\((U'_p \subseteq M_1, \phi'_p)\)および\(f (p)\)の周りのあるチャート\((U_{f (p)} \subseteq M_2, \phi_{f (p)})\)、つまり、\(f (U'_p \cap S_1) \subseteq U_{f (p)}\)および\(\phi_{f (p)} \circ f \circ {\phi'_p}^{-1} \vert_{\phi'_p (U'_p \cap S_1)}: \phi'_p (U'_p \cap S_1) \to \phi_{f (p)} (U_{f (p)})\)は\(\phi'_p (p)\)において\(C^k\)である、がある。
しかし、同じチャートたちペアが\(f'\)に対して使える、なぜなら、\(f' (U'_p \cap S_1) \subseteq U_{f (p)}\)および\(\phi_{f (p)} \circ f' \circ {\phi'_p}^{-1} \vert_{\phi'_p (U'_p \cap S_1)}: \phi'_p (U'_p \cap S_1) \to \phi_{f (p)} (U_{f (p)})\)は\(\phi'_p (p)\)において\(C^k\)である。
