トポロジカルスペース（空間）の2サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）に対して、その、一方のサブセット（部分集合）をサブスペース（部分空間）としてそのサブスペース（部分空間）とみなしたもの、その、他方のサブセット（部分集合）をサブスペース（部分空間）としてそのサブスペース（部分空間）とみなしたもの、その、ベーススペース（基底空間）のサブスペース（部分空間）とみなしたもの、たちは同一であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意の2サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）に対して、その、一方のサブセット（部分集合）をサブスペース（部分空間）としてそのサブスペース（部分空間）とみなしたもの、その、他方のサブセット（部分集合）をサブスペース（部分空間）としてそのサブスペース（部分空間）とみなしたもの、その、ベーススペース（基底空間）のサブスペース（部分空間）とみなしたもの、たちは同一であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)、任意のサブセット（部分集合）たち\(S_1, S_2 \subseteq T\)に対して、\(S_1 \cap S_2\)の、\(S_1\)を\(T\)のサブスペース（部分空間）としてのそのサブスペース（部分空間）としたもの、\(S_1 \cap S_2\)の、\(S_2\)を\(T\)のサブスペース（部分空間）としてのそのサブスペース（部分空間）としたもの、\(S_1 \cap S_2\)の、\(T\)のサブスペース（部分空間）としたもの、たちは同一である。
2: 証明
本証明はトポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題をふんだんに用いる、したがって、以降、それには言及しない。
\(U \subseteq S_1 \cap S_2\)は、\(S_1 \cap S_2\)を、\(S_1\)を\(T\)のサブスペース（部分空間）としてそのサブスペース（部分空間）とした時の任意のオープンサブセット（開部分集合）であるとしよう。
\(U\)は、\(S_1 \cap S_2\)の、\(S_1 \cap S_2\)を\(T\)のサブスペース（部分空間）とした時のオープンサブセット（開部分集合）である。\(U\)は、\(S_1 \cap S_2\)を、\(S_2\)を\(T\)のサブスペース（部分空間）としてそのサブスペース（部分空間）とした時のオープンサブセット（開部分集合）である。
\(U \subseteq S_1 \cap S_2\)は、\(S_1 \cap S_2\)を、\(S_2\)を\(T\)のサブスペース（部分空間）としてそのサブスペース（部分空間）とした時の任意のオープンサブセット（開部分集合）であるとしよう。
\(U\)は、\(S_1 \cap S_2\)の、\(S_1 \cap S_2\)を\(T\)のサブスペース（部分空間）とした時のオープンサブセット（開部分集合）である。\(U\)は、\(S_1 \cap S_2\)を、\(S_1\)を\(T\).のサブスペース（部分空間）としてそのサブスペース（部分空間）とした時のオープンサブセット（開部分集合）である。
\(U \subseteq S_1 \cap S_2\)は、\(S_1 \cap S_2\)を\(T\)のサブスペース（部分空間）とした時の任意のオープンサブセット（開部分集合）であるとしよう。
\(U\)は、\(S_1 \cap S_2\)を、\(S_1\)を\(T\).のサブスペース（部分空間）としてそのサブスペース（部分空間）とした時のオープンサブセット（開部分集合）である。\(U\)は、\(S_2\)を\(T\).のサブスペース（部分空間）としてそのサブスペース（部分空間）とした時のオープンサブセット（開部分集合）である。
したがって、3つのトポロジーたちは同一である。
