495: トポロジカルスペース（空間）の2サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）に対して、その、一方のサブセット（部分集合）をサブスペース（部分空間）としてそのサブスペース（部分空間）とみなしたもの、その、他方のサブセット（部分集合）をサブスペース（部分空間）としてそのサブスペース（部分空間）とみなしたもの、その、ベーススペース（基底空間）のサブスペース（部分空間）とみなしたもの、たちは同一である

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

トポロジカルスペース（空間）の2サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）に対して、その、一方のサブセット（部分集合）をサブスペース（部分空間）としてそのサブスペース（部分空間）とみなしたもの、その、他方のサブセット（部分集合）をサブスペース（部分空間）としてそのサブスペース（部分空間）とみなしたもの、その、ベーススペース（基底空間）のサブスペース（部分空間）とみなしたもの、たちは同一であることの記述/証明

---

話題

About: トポロジカルスペース（空間）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

---

開始コンテキスト

• 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題を認めている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意の2サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）に対して、その、一方のサブセット（部分集合）をサブスペース（部分空間）としてそのサブスペース（部分空間）とみなしたもの、その、他方のサブセット（部分集合）をサブスペース（部分空間）としてそのサブスペース（部分空間）とみなしたもの、その、ベーススペース（基底空間）のサブスペース（部分空間）とみなしたもの、たちは同一であるという命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

---

本体

---

1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$、任意のサブセット（部分集合）たち$S_1,S_2\subseteq T$に対して、$S_1\cap S_2$の、$S_1$を$T$のサブスペース（部分空間）としてのそのサブスペース（部分空間）としたもの、$S_1\cap S_2$の、$S_2$を$T$のサブスペース（部分空間）としてのそのサブスペース（部分空間）としたもの、$S_1\cap S_2$の、$T$のサブスペース（部分空間）としたもの、たちは同一である。

---

2: 証明

本証明はトポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題をふんだんに用いる、したがって、以降、それには言及しない。

$U\subseteq S_1\cap S_2$は、$S_1\cap S_2$を、$S_1$を$T$のサブスペース（部分空間）としてそのサブスペース（部分空間）とした時の任意のオープンサブセット（開部分集合）であるとしよう。

$U$は、$S_1\cap S_2$の、$S_1\cap S_2$を$T$のサブスペース（部分空間）とした時のオープンサブセット（開部分集合）である。$U$は、$S_1\cap S_2$を、$S_2$を$T$のサブスペース（部分空間）としてそのサブスペース（部分空間）とした時のオープンサブセット（開部分集合）である。

$U\subseteq S_1\cap S_2$は、$S_1\cap S_2$を、$S_2$を$T$のサブスペース（部分空間）としてそのサブスペース（部分空間）とした時の任意のオープンサブセット（開部分集合）であるとしよう。

$U$は、$S_1\cap S_2$の、$S_1\cap S_2$を$T$のサブスペース（部分空間）とした時のオープンサブセット（開部分集合）である。$U$は、$S_1\cap S_2$を、$S_1$を$T$.のサブスペース（部分空間）としてそのサブスペース（部分空間）とした時のオープンサブセット（開部分集合）である。

$U\subseteq S_1\cap S_2$は、$S_1\cap S_2$を$T$のサブスペース（部分空間）とした時の任意のオープンサブセット（開部分集合）であるとしよう。

$U$は、$S_1\cap S_2$を、$S_1$を$T$.のサブスペース（部分空間）としてそのサブスペース（部分空間）とした時のオープンサブセット（開部分集合）である。$U$は、$S_2$を$T$.のサブスペース（部分空間）としてそのサブスペース（部分空間）とした時のオープンサブセット（開部分集合）である。

したがって、3つのトポロジーたちは同一である。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>