497: バウンダリー（境界）付きC∞マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものに対して、ドメイン（定義域）のポイントを包含するオープンサブセット（開部分集合）についてのリストリクション（制限）はポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックである

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バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものに対して、ドメイン（定義域）のポイントを包含するオープンサブセット（開部分集合）についてのリストリクション（制限）はポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであることの記述/証明

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話題

About: バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものの定義を知っている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付き任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、レンジ（値域）を包含する任意のコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものに対して、ドメイン（定義域）の当該ポイントを包含する任意のオープンサブセット（開部分集合）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

（空かもしれない）バウンダリー（境界）付き任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち$M_1,M_2$、以下を満たす任意のサブセット（部分集合）たち$S_1,S_1^{\prime }\subseteq M_1,S_2\subseteq M_2$、つまり、$S_1\subseteq S_1^{\prime }$は$S_1^{\prime }$上でオープン（開）である、任意のポイント$p\in S_1$、以下を満たす任意のマップ（写像）$f^{\prime }:S_1^{\prime }\to S_2$、つまり、$f^{\prime }$は$p$においてローカルにディフェオモーフィックである、に対して、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）$f:S_1\to S_2$は$p$においてローカルにディフェオモーフィックである。

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2: 証明

以下を満たす$p$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p^{\prime }\subseteq M_1$および$f(p)$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{f(p)}\subseteq M_2$、つまり、$f^{\prime }{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1^{\prime }}:U_p^{\prime }\cap S_1^{\prime }\to U_{f(p)}\cap S_2$はディフェオモーフィズムである、がある。

$f{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1}=f^{\prime }{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1^{\prime }}{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1}:U_p^{\prime }\cap S_1\to f{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1}(U_p^{\prime }\cap S_1)$はディフェオモーフィズムである、バウンダリー（境界）付き任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題および任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、レンジ（値域）を包含する任意のコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題によって。

しかし、問題は、当該レンジ（値域）はまだ$S_2$のオープンサブセット（開部分集合）であると証明されていないことだ（ドメインの不変性定理はここには適用されない、なぜなら、当該ディフェオモーフィズムはバウンダリー無し$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）からのものではない）。

$U_p^{\prime }\cap S_1$は$U_p^{\prime }\cap S_1^{\prime }$のオープンサブセット（開部分集合）である、なぜなら、$S_1$は$S_1^{\prime }$上でオープン（開）であるから、$S_1=U_p^{″}\cap S_1^{\prime }$、ここで、$U_p^{″}\subset M_1$は$M_1$のオープンサブセット（開部分集合）である、したがって、$U_p^{\prime }\cap S_1=U_p^{\prime }\cap U_p^{″}\cap S_1^{\prime }=U_p^{″}\cap U_p^{\prime }\cap S_1^{\prime }$。したがって、$f^{\prime }{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1^{\prime }}(U_p^{\prime }\cap S_1)$は$U_{f(p)}\cap S_2$上でオープン（開）である、したがって、$f^{\prime }{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1^{\prime }}(U_p^{\prime }\cap S_1)=U_{f(p)}^{\prime }\cap U_{f(p)}\cap S_2$、ここで、$U_{f(p)}^{\prime }$は$M_2$のオープンサブセット（開部分集合）である。

したがって、以下を満たす$p$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p^{\prime }\subseteq M_1$および$f(p)$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{f(p)}^{\prime }\cap U_{f(p)}\subseteq M_2$、つまり、$f{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1}:U_p^{\prime }\cap S_1\to U_{f(p)}^{\prime }\cap U_{f(p)}\cap S_2$はディフェオモーフィズムである、がある。

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参考資料

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