バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものに対して、ドメイン（定義域）のポイントを包含するオープンサブセット（開部分集合）についてのリストリクション（制限）はポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであることの記述/証明
話題
About: バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものの定義を知っている。
- 読者は、バウンダリー（境界）付き任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、レンジ（値域）を包含する任意のコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものに対して、ドメイン（定義域）の当該ポイントを包含する任意のオープンサブセット（開部分集合）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
（空かもしれない）バウンダリー（境界）付き任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち\(M_1, M_2\)、以下を満たす任意のサブセット（部分集合）たち\(S_1, S'_1 \subseteq M_1, S_2 \subseteq M_2\)、つまり、\(S_1 \subseteq S'_1\)は\(S'_1\)上でオープン（開）である、任意のポイント\(p \in S_1\)、以下を満たす任意のマップ（写像）\(f': S'_1 \to S_2\)、つまり、\(f'\)は\(p\)においてローカルにディフェオモーフィックである、に対して、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）\(f: S_1 \to S_2\)は\(p\)においてローカルにディフェオモーフィックである。
2: 証明
以下を満たす\(p\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_p \subseteq M_1\)および\(f (p)\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{f (p)} \subseteq M_2\)、つまり、\(f' \vert_{U'_p \cap S'_1}: U'_p \cap S'_1 \to U_{f (p)} \cap S_2\)はディフェオモーフィズムである、がある。
\(f \vert_{U'_p \cap S_1} = f' \vert_{U'_p \cap S'_1} \vert_{U'_p \cap S_1}: U'_p \cap S_1 \to f \vert_{U'_p \cap S_1} (U'_p \cap S_1)\)はディフェオモーフィズムである、バウンダリー（境界）付き任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題および任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、レンジ（値域）を包含する任意のコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題によって。
しかし、問題は、当該レンジ（値域）はまだ\(S_2\)のオープンサブセット（開部分集合）であると証明されていないことだ（ドメインの不変性定理はここには適用されない、なぜなら、当該ディフェオモーフィズムはバウンダリー無し\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）からのものではない）。
\(U'_p \cap S_1\)は\(U'_p \cap S'_1\)のオープンサブセット（開部分集合）である、なぜなら、\(S_1\)は\(S'_1\)上でオープン（開）であるから、\(S_1 = U''_p \cap S'_1\)、ここで、\(U''_p \subset M_1\)は\(M_1\)のオープンサブセット（開部分集合）である、したがって、\(U'_p \cap S_1 = U'_p \cap U''_p \cap S'_1 = U''_p \cap U'_p \cap S'_1\)。したがって、\(f' \vert_{U'_p \cap S'_1} (U'_p \cap S_1)\)は\(U_{f (p)} \cap S_2\)上でオープン（開）である、したがって、\(f' \vert_{U'_p \cap S'_1} (U'_p \cap S_1) = U'_{f (p)} \cap U_{f (p)} \cap S_2\)、ここで、\(U'_{f (p)}\)は\(M_2\)のオープンサブセット（開部分集合）である。
したがって、以下を満たす\(p\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_p \subseteq M_1\)および\(f (p)\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_{f (p)} \cap U_{f (p)} \subseteq M_2\)、つまり、\(f \vert_{U'_p \cap S_1}: U'_p \cap S_1 \to U'_{f (p)} \cap U_{f (p)} \cap S_2\)はディフェオモーフィズムである、がある。
