固定されたドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）に対するシーケンス（列）たちのセット（集合）に対して、パーミュテーション（並べ替え）はバイジェクティブ（全単射）にセット（集合）をセット（集合）の上へマップすることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、シーケンス（列）のパーミュテーション（並べ替え）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の固定されたドメイン（定義域）および任意の固定されたコドメイン（余域）に対する全てのシーケンス（列）たちのセット（集合）に対して、任意のパーミュテーション（並べ替え）はバイジェクティブ（全単射）に当該セット（集合）を当該セット（集合）の上へマップするという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S\): \(\subseteq \mathbb{N}\), \(= \{l_1, ..., l_k\}\)
\(S'\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S''\): \(= \{f \vert f: S \to S' \in \{S\text{ 上方の全てのシーケンス（列）たち }\}\}\)
\(\sigma\): \(\in \{あるf_0 \in S''\text{ の全てのパーミュテーション（並べ替え）たち }\}\)、\(: S \to S\)
\(f_\sigma\): \(S'' \to S'', f \mapsto f \circ \sigma\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f_\sigma \in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}\).
//
2: 自然言語記述
任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq \mathbb{N} = \{l_1, ..., l_k\}\)、任意のセット（集合）\(S'\)、全てのシーケンス（列）たちのセット（集合）\(S'' = \{f \vert f: S \to S'\}\)、任意の\(f_0 \in S''\)の任意のパーミュテーション（並べ替え）\(\sigma: S \to S\)に対して、\(f_\sigma: S'' \to S'', f \mapsto f \circ \sigma\)はバイジェクション（全単射）である。
3: 証明
\(f_\sigma\)はウェルデファインド（妥当に定義されている）、なぜなら、\(f \circ \sigma: S \to S \to S' \in S''\)。
\(f_\sigma\)はインジェクティブ（単射）であることを証明しよう。任意の\(f \neq f' \in S''\)に対して、\(f \circ \sigma \neq f' \circ \sigma\)、なぜなら、もしも、\(f \circ \sigma = f' \circ \sigma\)であったら、\(f = f \circ \sigma \circ {\sigma}^{-1} = f' \circ \sigma \circ {\sigma}^{-1} = f'\)、矛盾。
\(f_\sigma\)はサージェクション（全射）であることを証明しよう。任意の\(f' \in S''\)に対して、\(f' \circ {\sigma}^{-1} \in S''\)および\(f' \circ {\sigma}^{-1} \circ \sigma = f'\)。
4: 注
典型的には、\(S = \{1, ..., k\}\)および\(S' = \{1, ..., d\}\)であり、私たちは\(\sum_{(j_1, ..., j_k) \in S''} N^{j_1, ..., j_k} M_{j_1, ..., j_k}\)のことを考える、それは、アインシュタインコンベンションによる\(N^{j_1, ..., j_k} M_{j_1, ..., j_k}\)に他ならない。本命題が含意していることは、\(\sum_{(j_1, ..., j_k) \in S''} N^{\sigma ((j_1, ..., j_k))_1, ..., \sigma ((j_1, ..., j_k))_k} M_{\sigma ((j_1, ..., j_k))_1, ..., \sigma ((j_1, ..., j_k))_k} = N^{j_1, ..., j_k} M_{j_1, ..., j_k}\)。その事実は大抵、明らかとして即座に受け入れられるが、私たちは、それを厳密に証明する労を取った。
