509: 固定されたドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）に対するシーケンス（列）たちのセット（集合）に対して、パーミュテーション（並べ替え）はバイジェクティブ（全単射）にセット（集合）をセット（集合）の上へマップする

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固定されたドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）に対するシーケンス（列）たちのセット（集合）に対して、パーミュテーション（並べ替え）はバイジェクティブ（全単射）にセット（集合）をセット（集合）の上へマップすることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明
• 4: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、シーケンス（列）のパーミュテーション（並べ替え）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の固定されたドメイン（定義域）および任意の固定されたコドメイン（余域）に対する全てのシーケンス（列）たちのセット（集合）に対して、任意のパーミュテーション（並べ替え）はバイジェクティブ（全単射）に当該セット（集合）を当該セット（集合）の上へマップするという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$S$: $\subseteq \mathbb{N}$, $=\{l_1,...,l_k\}$
$S^{\prime }$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$S^{″}$: $=\{f|f:S\to S^{\prime }\in \{S\text{ 上方の全てのシーケンス（列）たち }\}\}$
$\sigma$: $\in \{\mathrm{あ}\mathrm{る}{f}_0\in S^{″}\text{ の全てのパーミュテーション（並べ替え）たち }\}$、$:S\to S$
$f_{\sigma }$: $S^{″}\to S^{″},f\mapsto f\circ \sigma$
//

ステートメント（言明）たち:
$f_{\sigma }\in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}$.
//

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2: 自然言語記述

任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq \mathbb{N}=\{l_1,...,l_k\}$、任意のセット（集合）$S^{\prime }$、全てのシーケンス（列）たちのセット（集合）$S^{″}=\{f|f:S\to S^{\prime }\}$、任意の$f_0\in S^{″}$の任意のパーミュテーション（並べ替え）$\sigma :S\to S$に対して、$f_{\sigma }:S^{″}\to S^{″},f\mapsto f\circ \sigma$はバイジェクション（全単射）である。

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3: 証明

$f_{\sigma }$はウェルデファインド（妥当に定義されている）、なぜなら、$f\circ \sigma :S\to S\to S^{\prime }\in S^{″}$。

$f_{\sigma }$はインジェクティブ（単射）であることを証明しよう。任意の$f\ne f^{\prime }\in S^{″}$に対して、$f\circ \sigma \ne f^{\prime }\circ \sigma$、なぜなら、もしも、$f\circ \sigma =f^{\prime }\circ \sigma$であったら、$f=f\circ \sigma \circ {\sigma }^{-1}=f^{\prime }\circ \sigma \circ {\sigma }^{-1}=f^{\prime }$、矛盾。

$f_{\sigma }$はサージェクション（全射）であることを証明しよう。任意の$f^{\prime }\in S^{″}$に対して、$f^{\prime }\circ {\sigma }^{-1}\in S^{″}$および$f^{\prime }\circ {\sigma }^{-1}\circ \sigma =f^{\prime }$。

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4: 注

典型的には、$S=\{1,...,k\}$および$S^{\prime }=\{1,...,d\}$であり、私たちは$\sum _{(j_1,...,j_k)\in S^{″}}{N}^{j_1,...,j_k}{M}_{j_1,...,j_k}$のことを考える、それは、アインシュタインコンベンションによる$N^{j_1,...,j_k}{M}_{j_1,...,j_k}$に他ならない。本命題が含意していることは、$\sum _{(j_1,...,j_k)\in S^{″}}{N}^{\sigma ((j_1,...,j_k){)}_1,...,\sigma ((j_1,...,j_k){)}_k}{M}_{\sigma ((j_1,...,j_k){)}_1,...,\sigma ((j_1,...,j_k){)}_k}=N^{j_1,...,j_k}{M}_{j_1,...,j_k}$。その事実は大抵、明らかとして即座に受け入れられるが、私たちは、それを厳密に証明する労を取った。

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参考資料

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