2024年3月17日日曜日

510: Rnベクトルのユークリディアンノルムの2乗は、ポジティブデフィニット(正定値)リアル(実)クオドラティック(2次)フォーム(形式)を最大アイゲンバリュー(固有値)で割ったものに等しいかより大きい

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Rnベクトルのユークリディアンノルムの2乗は、ポジティブデフィニット(正定値)リアル(実)クオドラティック(2次)フォーム(形式)を最大アイゲンバリュー(固有値)で割ったものに等しいかより大きいことの記述/証明

話題


About: ベクトルたちスペース(空間)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のRnベクトルたちスペース(空間)に対して、任意のベクトルのユークリディアンノルムの2乗は、任意のポジティブデフィニット(正定値)リアル(実)クオドラティック(2次)フォーム(形式)を当該クオドラティック(2次)フォーム(形式)の最大アイゲンバリュー(固有値)で割ったものに等しいかより大きいという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。


本体


1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある

エンティティ(実体)たち:
Rd: ユークリディアンベクトルたちスペース(空間)ストラクチャー(構造)およびユークリディアンノルムv=v12+v22+...+vd2を持ったもの
M: { 全てのリアル(実)シンメトリック(対称) d×d マトリックス(行列)たち }
f: {Rd 上方の全てのポジティブデフィニット(正定値)リアル(実)クオドラティック(2次)フォーム(形式)たち }:RdRvvtMv
v: Rd
λM: =M の最大アイゲンバリュー(固有値)、不可避に0<λM
//

ステートメント(言明)たち:
f(v)/λMv2.
//


2: 自然言語記述


Rnユークリディアンベクトルたちスペース(空間)でユークリディアンノルムv=v12+v22+...+vd2を持ったもの、任意のポジティブデフィニット(正定値)リアル(実)クオドラティック(2次)フォーム(形式)f(v)=vtMv、ここで、Mはリアル(実)シンメトリック(対称)d×dマトリックス(行列)、に対して、f(v)/λMv2、ここで、λM(不可避に0<λM)はMの最大アイゲンバリュー(固有値)、である。


3: 証明


以下を満たすあるオーソノーマル(正規直交)マトリックス(行列)M、つまり、M1MM=[λ1,...,λd]、ここで、[λ1,...,λd]はあるダイアゴーナル(対角)マトリックス(行列)、ここで、λiはあるアイゲンバリュー(固有値)、がある、任意のリアル(実)シンメトリック(対称)マトリックス(行列)はあるオーソノーマル(正規直交)マトリックス(行列)によってダイアゴナライズド(対角化された)にできるという命題によって。v:=M1vを定義しよう、したがって、v=Mvf(v)=vtMtMMv=vtM1MMv=vt[λ1,...,λd]v=λ1v12+λ2v22+...+λdvd2任意のオーソノーマル(正規直交)マトリックス(行列)のトランスポジション(転置)は元のマトリックス(行列)のインバース(逆)であるという命題によって。

最大アイゲンバリュー(固有値)をλMとして表記しよう、それは、不可避に0<λM、なぜなら、Mはポジティブデフィニット(正定値)である。f(v)=λ1v12+λ2v22+...+λdvd2λM(v12+v22+...+vd2)=λMv2Mはオーソノーマル(正規直交)マトリックス(行列)であるから、v=v。したがって、f(v)/λMv2


参考資料


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