508: シーケンス（列）のパーミュテーション（並べ替え）

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シーケンス（列）のパーミュテーション（並べ替え）の定義

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、シーケンス（列）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、シーケンス（列）のパーミュテーション（並べ替え）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$\mathbb{N}$:
$S$: $\subseteq \mathbb{N}$
$f$: $\{S\text{ からの全てのシーケンス（列）たち }\}$
$\ast \sigma$: $:S\to S$,
$f\circ \sigma$: $\sigma$の$f$への結果、$S$からのシーケンス（列）である
$\sigma (f)$: $=f\circ \sigma$
$\sigma (f{)}_j$: $=(f\circ \sigma )(l_j)$、ここで、$l_j$は$S$を昇順に並べたものの$j$番目要素
//

コンディションたち:
$\sigma \in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}$。
//

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2: 自然言語記述

ナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）$\mathbb{N}$、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq \mathbb{N}$、以下を満たす任意のシーケンス（列）$f$、つまり、$domf=S$、に対して、任意のバイジェクション（全単射）$\sigma :S\to S$は$f$のパーミュテーション（並べ替え）である、ここで、$f\circ \sigma$はパーミュテーション（並べ替え）結果、あるシーケンス（列）、である; 記法$\sigma (f)$は$f\circ \sigma$を意味する; 記法$\sigma (f{)}_j$は$(f\circ \sigma )(l_j)$を意味する、ここで、$l_j$は$S$を昇順に並べたものの$j$番目要素

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3: 注

本定義は$f\circ \sigma$を"パーミュテーション（並べ替え）"とは呼ばない、$f\circ \sigma$がしばしば"パーミュテーション（並べ替え）"によって意図されるものであるが。その理由は以下の通り。

$S=\{1,2\}$、当該シーケンス（列）が$(3,3)$、$\sigma =id$および${\sigma }^{\prime },1\mapsto 2;2\mapsto 1$である時、$f\circ \sigma =f\circ {\sigma }^{\prime }$、したがって、私たちは、"2つのパーミュテーション（並べ替え）たちがある。"と言えないであろう、もしも、$f\circ \sigma$を"パーミュテーション（並べ替え）"と呼んでいたら。実のところ、$\sigma \ne {\sigma }^{\prime }$、したがって、2つのパーミュテーション（並べ替え）たちがある。

したがって、本定義によれば、当該シーケンス（列）の要素たちの間の何らの重複の存在も何の問題でもない、なぜなら、本定義は、当該シーケンス（列）のドメイン（定義域）上方の自己バイジェクション（全単射）についてのものであって、ドメイン（定義域）は何の重複も持たない。

例えば、私たちが$\sum _{\sigma }sgn\sigma A^{\sigma (f{)}_1,...,\sigma (f{)}_n}$のような表現を使う時、当該シーケンス（列）は何らの重複要素たちを持ち、何らかの$\sigma \ne {\sigma }^{\prime }$に対して$f\circ \sigma =f\circ {\sigma }^{\prime }$かもしれないが、その表現は全てのパーミュテーション（並べ替え）たちを取るのである、任意の重複に関わらず。

したがって、私たちは、$f\circ \sigma$を"パーミュテーション（並べ替え）結果"と呼ぶ、厳密に言って、しかし、時には、それを"パーミュテーション（並べ替え）"と呼ぶことがあるかもしれない、破壊的な混乱が起こらないであろうときは。

パーミュテーション（並べ替え）$\sigma$はあるシーケンス（列）$f$に関して定義される、しかし、それは任意のシーケンス（列）$f^{\prime }:S\to f^{\prime }(S)$のパーミュテーション（並べ替え）でもある、ドメイン（定義域）が$S$である限りは、なぜなら、$f^{\prime }\circ \sigma$は意味をなす。したがって、"$\sigma$は$(j_1,...,j_k)$のあるパーミュテーション（並べ替え）であって、私たちは、$\sum _{(j_1,...,j_k)}{M}_{\sigma ((j_1,...,j_k){)}_1,...,\sigma ((j_1,...,j_k){)}_k}$を取る"のような私たちの表現は意味をなさないように思われるかもしれない（なぜなら、$\sigma$はある特定の$(j_1,...,j_k)$についてのものであって、そのような様々な$(j_1,...,j_k)$たちについてのものではないはず）、しかし、その表現が意味するのは、その同一$\sigma$が本当にそうした様々な$(j_1,...,j_k)$たちに作用できるということである。

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参考資料

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