494: トポロジカルスペース（空間）たち間のインジェクティブ（単射）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である、もしも、マップ（写像）の、オープンカバー（開被覆）の各要素についてのドメイン（定義域）リストリクション（制限）がレンジ（値域）またはコドメイン（余域）のオープンサブセット（開部分集合）上へのコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である場合

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

トポロジカルスペース（空間）たち間のインジェクティブ（単射）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である、もしも、マップ（写像）の、オープンカバー（開被覆）の各要素についてのドメイン（定義域）リストリクション（制限）がレンジ（値域）またはコドメイン（余域）のオープンサブセット（開部分集合）上へのコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である場合、ことの記述/証明

---

話題

About: トポロジカルスペース（空間）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

---

開始コンテキスト

• 読者は、コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、アンカウンタブル（不可算）でもよいあるオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題を認めている。
• 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）イメージ（像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のオープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）であるという命題を認めている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である、もしも、マップ（写像）の、任意のオープンカバー（開被覆）の各要素についてのドメイン（定義域）リストリクション（制限）がレンジ（値域）またはコドメイン（余域）の任意のオープンサブセット（開部分集合）上への任意のコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である場合、という命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

---

本体

---

1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2$、任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）$f:T_1\to T_2$、$T_1$の任意のオープンカバー（開被覆）$\{U_{\alpha }|\alpha \in A\}$、ここで、$A$はアンカウンタブル（不可算）かもしれない任意のインデックスたちセット（集合）、に対して、$f$はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である、、もしも、各$f{|}_{U_{\alpha }}:U_{\alpha }\to T_2$が$f(T_1)$または$T_2$の任意のオープンサブセット（開部分集合）上への任意のコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である場合。

各$f{|}_{U_{\alpha }}$が$T_2$の任意のオープンサブセット（開部分集合）上へのものである時は、$f$は$T_2$のあるオープンサブセット（開部分集合）上へのものである。

---

2: 証明

もしも、$f{|}_{U_{\alpha }}(U_{\alpha })$が$T_2$上でオープン（開）である場合、それは$f(T_1)$上でオープンである、なぜなら、$f{|}_{U_{\alpha }}(U_{\alpha })=f{|}_{U_{\alpha }}(U_{\alpha })\cap f(T_1)$である。

したがって、$f{|}_{U_{\alpha }}(U_{\alpha })$は$f(T_1)$上でオープン（開）であると仮定しよう。

$f$はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、アンカウンタブル（不可算）でもよいあるオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題によって。

$f^{\prime }:T_1\to f(T_1)$, $p\mapsto f(p)$と定義しよう。

$f^{\prime }$はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。

$f$はインジェクティブ（単射）であるから、$f^{\prime }$はインジェクティブ（単射）であり、インバース（逆）$f^{\prime -1}:f(T_1)\to T_1$がある。$f^{\prime -1}$はコンティニュアス（連続）であるか？

$U\subseteq T_1$は　任意のオープンサブセット（開部分集合）であるとしよう。${f^{\prime -1}}^{-1}(U)=f^{\prime }(U)=f^{\prime }(U\cap {\cup }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha })=f^{\prime }({\cup }_{\alpha \in A}(U\cap U_{\alpha }))={\cup }_{\alpha \in A}{f}^{\prime }(U\cap U_{\alpha })$、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）イメージ（像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。しかし、$f{|}_{U_{\alpha }}$はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）であり$U\cap U_{\alpha }\subseteq U_{\alpha }$は$U_{\alpha }$上でオープン（開）であるから、$f^{\prime }(U\cap U_{\alpha })\subseteq f(U_{\alpha })$は$f(U_{\alpha })$上でオープン（開）である、しかし、$f(U_{\alpha })\subseteq T_2$は$f(T_1)$上でオープン（開）であるから、$f^{\prime }(U\cap U_{\alpha })$は$f(T_1)$上でオープン（開）である、任意のオープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）であるという命題によって。したがって、$f^{\prime }(U)={\cup }_{\alpha \in A}{f}^{\prime }(U\cap U_{\alpha })\subseteq f(T_1)$は$f(T_1)$上でオープン（開）である。

したがって、はい、$f^{\prime -1}$はコンティニュアス（連続）である。

したがって、$f^{\prime }$ホメオモーフィズム（位相同形写像）である、したがって、$f$はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である。

$f{|}_{U_{\alpha }}(U_{\alpha })\subseteq T_2$が$T_2$上でオープン（開）である時は、$f(T_1)=f({\cup }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha })={\cup }_{\alpha \in A}f(U_{\alpha })$、それは$T_2$上でオープン（開）である。

---

3: 注

各$f{|}_{U_{\alpha }}$が$f(T_1)$の任意のオープンサブセット（開部分集合）上へのものであるという要求は、$f$がコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）であることを保証するために必要である、そうでないと証明されない限りは。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>