トポロジカルスペース（空間）たち間のインジェクティブ（単射）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である、もしも、マップ（写像）の、オープンカバー（開被覆）の各要素についてのドメイン（定義域）リストリクション（制限）がレンジ（値域）またはコドメイン（余域）のオープンサブセット（開部分集合）上へのコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である場合、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、アンカウンタブル（不可算）でもよいあるオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）イメージ（像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のオープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である、もしも、マップ（写像）の、任意のオープンカバー（開被覆）の各要素についてのドメイン（定義域）リストリクション（制限）がレンジ（値域）またはコドメイン（余域）の任意のオープンサブセット（開部分集合）上への任意のコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である場合、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2\)、任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）\(f: T_1 \to T_2\)、\(T_1\)の任意のオープンカバー（開被覆）\(\{U_\alpha \vert \alpha \in A\}\)、ここで、\(A\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれない任意のインデックスたちセット（集合）、に対して、\(f\)はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である、、もしも、各\(f \vert_{U_\alpha}: U_\alpha \to T_2\)が\(f (T_1)\)または\(T_2\)の任意のオープンサブセット（開部分集合）上への任意のコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である場合。
各\(f \vert_{U_\alpha}\)が\(T_2\)の任意のオープンサブセット（開部分集合）上へのものである時は、\(f\)は\(T_2\)のあるオープンサブセット（開部分集合）上へのものである。
2: 証明
もしも、\(f \vert_{U_\alpha} (U_\alpha)\)が\(T_2\)上でオープン（開）である場合、それは\(f (T_1)\)上でオープンである、なぜなら、\(f \vert_{U_\alpha} (U_\alpha) = f \vert_{U_\alpha} (U_\alpha) \cap f (T_1)\)である。
したがって、\(f \vert_{U_\alpha} (U_\alpha)\)は\(f (T_1)\)上でオープン（開）であると仮定しよう。
\(f\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、アンカウンタブル（不可算）でもよいあるオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題によって。
\(f': T_1 \to f (T_1)\), \(p \mapsto f (p)\)と定義しよう。
\(f'\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
\(f\)はインジェクティブ（単射）であるから、\(f'\)はインジェクティブ（単射）であり、インバース（逆）\(f'^{-1}: f (T_1) \to T_1\)がある。\(f'^{-1}\)はコンティニュアス（連続）であるか？
\(U \subseteq T_1\)は 任意のオープンサブセット（開部分集合）であるとしよう。\({f'^{-1}}^{-1} (U) = f' (U) = f' (U \cap \cup_{\alpha \in A} U_\alpha) = f' (\cup_{\alpha \in A} (U \cap U_\alpha)) = \cup_{\alpha \in A} f' (U \cap U_\alpha)\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）イメージ（像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。しかし、\(f \vert_{U_\alpha}\)はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）であり\(U \cap U_\alpha \subseteq U_\alpha\)は\(U_\alpha\)上でオープン（開）であるから、\(f' (U \cap U_\alpha) \subseteq f (U_\alpha)\)は\(f (U_\alpha)\)上でオープン（開）である、しかし、\(f (U_\alpha) \subseteq T_2\)は\(f (T_1)\)上でオープン（開）であるから、\(f' (U \cap U_\alpha)\)は\(f (T_1)\)上でオープン（開）である、任意のオープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）であるという命題によって。したがって、\(f' (U) = \cup_{\alpha \in A} f' (U \cap U_\alpha) \subseteq f (T_1)\)は\(f (T_1)\)上でオープン（開）である。
したがって、はい、\(f'^{-1}\)はコンティニュアス（連続）である。
したがって、\(f'\)ホメオモーフィズム（位相同形写像）である、したがって、\(f\)はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である。
\(f \vert_{U_\alpha} (U_\alpha) \subseteq T_2\)が\(T_2\)上でオープン（開）である時は、\(f (T_1) = f (\cup_{\alpha \in A} U_\alpha) = \cup_{\alpha \in A} f (U_\alpha)\)、それは\(T_2\)上でオープン（開）である。
3: 注
各\(f \vert_{U_\alpha}\)が\(f (T_1)\)の任意のオープンサブセット（開部分集合）上へのものであるという要求は、\(f\)がコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）であることを保証するために必要である、そうでないと証明されない限りは。
