スクウェア（正方）マトリックス（行列）でその最終行は全て1でその他の各行は行番号 + 1列 1を除いて全て0であるもののデターミナント（行列式）は-1の次元 + 1乗であることの記述/証明
話題
About: マトリックス（行列）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、スクウェア（正方）マトリックス（行列）のデターミナント（行列式）の定義を知っている。
- 読者は、デターミナント（行列式）のラプラス展開の定義を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のスクウェア（正方）マトリックス（行列）でその最終行は全て\(1\)でその他の各行は行番号 \(+ 1\)列 \(1\)を除いて全て\(0\)であるもののデターミナント（行列式）は\(-1\)の次元 \(+ 1\)乗であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのn x nマトリックス（行列）たち }\}\)、最終行は全て\(1\)で他の各\(j\)番目行は\(j + 1\)番目列\(1\)を除いて\(0\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(det M = (-1)^{n + 1}\)。
//
2: 自然言語記述
任意の\(\text{ n x n }\)マトリックス（行列）\(M\)で、その最終行は全て\(1\)でその他の各\(j\)番目行は\(j + 1\)番目列\(1\)を除いて\(0\)であるものに対して、デターミナント（行列式）は\(det M = (-1)^{n + 1}\)である。
3: 証明
\(M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & ... & 0 \\ ... \\ 1 & 1 & 1 & 1 & ... & 1 \end{pmatrix}\)。
それをインダクティブに（帰納法によって）証明しよう。
\(n\)次元マトリックス（行列）のデターミナント（行列式）は\(f (n)\)であるとしよう。
\(n = 1\)である時、\(M = \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}\)、そして、\(f (1) = det M = 1 = (-1)^{1 + 1}\)。
\(n = 2\)である時、\(M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)、そして、\(f (2) = det M = -1 = (-1)^{2 + 1}\)。
\(n = m - 1\)に対して、\(det M = (-1)^{m - 1 + 1}\)であると仮定しよう。\(n = m\)に対して、\(det M\)をデターミナント（行列式）のラプラス展開の定義によって第1行によって展開しよう。第1行は1つだけの非ゼロ列、第2列1を持つ。当該コンポーネントの余因子は\((-1)^{1 + 2} f (m - 1)\)である、なぜなら、\(M\)の第1行と第2列が除かれたものは\(m - 1\)ケースに対するマトリックス（行列）に他ならない。したがって、\(f (m) = -1 f (m - 1)\)である。
したがって、\(f (n) = (-1)^{n + 1}\)。
