539: スクウェア（正方）マトリックス（行列）でその最終行は全て1でその他の各行は行番号 + 1列 1を除いて全て0であるもののデターミナント（行列式）は-1の次元 + 1乗である

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スクウェア（正方）マトリックス（行列）でその最終行は全て1でその他の各行は行番号 + 1列 1を除いて全て0であるもののデターミナント（行列式）は-1の次元 + 1乗であることの記述/証明

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話題

About: マトリックス（行列）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、スクウェア（正方）マトリックス（行列）のデターミナント（行列式）の定義を知っている。
• 読者は、デターミナント（行列式）のラプラス展開の定義を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のスクウェア（正方）マトリックス（行列）でその最終行は全て$1$でその他の各行は行番号 $+1$列 $1$を除いて全て$0$であるもののデターミナント（行列式）は$-1$の次元 $+1$乗であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M$: $\in \{\text{ 全てのn x nマトリックス（行列）たち }\}$、最終行は全て$1$で他の各$j$番目行は$j+1$番目列$1$を除いて$0$
//

ステートメント（言明）たち:
$detM=(-1{)}^{n+1}$。
//

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2: 自然言語記述

任意の$\text{ n x n }$マトリックス（行列）$M$で、その最終行は全て$1$でその他の各$j$番目行は$j+1$番目列$1$を除いて$0$であるものに対して、デターミナント（行列式）は$detM=(-1{)}^{n+1}$である。

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3: 証明

$M=\left(\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& 0& ...& 0\\ 0& 0& 1& 0& ...& 0\\ ...\\ 1& 1& 1& 1& ...& 1\end{array}\right)$。

それをインダクティブに（帰納法によって）証明しよう。

$n$次元マトリックス（行列）のデターミナント（行列式）は$f(n)$であるとしよう。

$n=1$である時、$M=\left(\begin{array}{c}1\end{array}\right)$、そして、$f(1)=detM=1=(-1{)}^{1+1}$。

$n=2$である時、$M=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$、そして、$f(2)=detM=-1=(-1{)}^{2+1}$。

$n=m-1$に対して、$detM=(-1{)}^{m-1+1}$であると仮定しよう。$n=m$に対して、$detM$をデターミナント（行列式）のラプラス展開の定義によって第1行によって展開しよう。第1行は1つだけの非ゼロ列、第2列1を持つ。当該コンポーネントの余因子は$(-1{)}^{1+2}f(m-1)$である、なぜなら、$M$の第1行と第2列が除かれたものは$m-1$ケースに対するマトリックス（行列）に他ならない。したがって、$f(m)=-1f(m-1)$である。

したがって、$f(n)=(-1{)}^{n+1}$。

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参考資料

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