リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）はベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）はベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V\): \(\in \text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\)
\(\{p_0, ..., p_n\}\): \(\subseteq V\), \(\in \{V\text{ 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）たち }\}\)
\(S\): \(= \{\sum_{j = 0 \sim n} t^j p_j \in V \vert t^j \in \mathbb{R}, \sum_{j = 0 \sim n} t^j = 1\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists J \subset \{0, ..., n\}\)
(
\(\{p_j \vert j \in J\} \in \{V\text{ 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）たち }\}\)
\(\land\)
\(S = \{\sum_{j \in J} t^j p_j \in V \vert t^j \in \mathbb{R}, \sum_{j = 0 \sim n} t^j = 1\}\)
)
//
2: 自然言語記述
任意のベクトルたちスペース（空間）\(V\)、ベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）\(p_0, ..., p_n \in V\)に対して、当該ベースポイントたちのセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）\(S := \{\sum_{j = 0 \sim n} t^j p_j \in V \vert t^j \in \mathbb{R}, \sum_{j = 0 \sim n} t^j = 1\}\)は、当該ベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）\(\{p_j \vert j \in J\}\)、ここで、\(J \subset \{0, ..., n\}\)、によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）である。
3: 証明
以下を満たすあるベースポイント\(p_k\)、つまり、\(p_k - p_0 = \sum_{j \neq 0, k} t'^j (p_j - p_0)\)、ここで、\(t'^j \in \mathbb{R}\)、がある。
\(S\)上の任意のポイントは\(\sum_{j = 0 \sim n} t^j p_j = t^k p_k + \sum_{j \neq k} t^j p_j = t^k (p_0 + \sum_{j \neq 0, k} t'^j (p_j - p_0)) + \sum_{j \neq k} t^j p_j = (t^k - \sum_{j \neq 0, k} t^k t'^j + t^0) p_0 + \sum_{j \neq 0, k} (t^k t'^j + t^j) p_j\)、それは、当該ベースポイントたちから\(p_k\)を除いたセット（集合）（それを私たちは、リデュースト（切り詰められた）ベースポイントたちのセット（集合）と呼ぶ）のリニア（線形）コンビネーションである。それらコエフィシェント（係数）たちの合計は\(t^k - \sum_{j \neq 0, k} t^k t'^j + t^0 + \sum_{j \neq 0, k} (t^k t'^j + t^j) = \sum t^j = 1\)である。したがって、それは、当該リデュースト（切り詰められた）ベースポイントたちのセット（集合）のアファインコンビネーションである。
その一方、当該リデュースト（切り詰められた）ベースポイントたちのセット（集合）の任意のアファインコンビネーション\(\sum_{j \neq k} t''^j p_j\)、ここで、\(\sum_{j \neq k } t''^j = 1\)、は\(S\)内にいる、なぜなら、それは単に\(t''^k = 0\)である特殊ケースにすぎない。
したがって、当該リデュースト（切り詰められた）ベースポイントたちのセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）\(\{\sum_{j \neq k} t^j p_j \in V \vert t^j \in \mathbb{R}, \sum_{j \neq k} t^j = 1\}\)は\(S\)に他ならない。
もしも、当該リデュースト（切り詰められた）ベースポイントたちのセット（集合）がアファインインディペンデント（独立）でなければ、当該プロセスを繰り返そう、そして、最終的には、リデュースト（切り詰められた）ベースポイントたちのセット（集合）はアファインインディペンデント（独立）になり、\(S\)は当該ベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）である。
\(S\)は実際に\(V\)のアファインサブセット（部分集合）であることを証明しよう。
\(\sum_{j = 0 \sim n} t^j_1 p_j, \sum_{j = 0 \sim n} t^j_2 p_j \in S\)は任意のポイントたちであるとしよう。Sがアファインであるというのは、\(t \in \mathbb{R}\)である時はいつも、\(\sum_{j = 0 \sim n} t^j_1 p_j + t (\sum_{j = 0 \sim n} t^j_2 p_j - \sum_{j = 0 \sim n} t^j_1 p_j)\)は\(S\)上にあるということである。
\(\sum_{j = 0 \sim n} t^j_1 p_j + t (\sum_{j = 0 \sim n} t^j_2 p_j - \sum_{j = 0 \sim n} t^j_1 p_j) = \sum_{j = 0 \sim n} (t^j_1 (1 - t) + t t^j_2) p_j\). \(\sum_{j = 0 \sim n} (t^j_1 (1 - t) + t t^j_2) = \sum_{j = 0 \sim n} (t^j_1 (1 - t)) + \sum_{j = 0 \sim n} (t t^j_2) = (1 - t) \sum_{j = 0 \sim n} t^j_1 + t \sum_{j = 0 \sim n} t^j_2 = 1 - t + t = 1\)。
したがって、\(t \in \mathbb{R}\)である時はいつも、\(\sum_{j = 0 \sim n} t^j_1 p_j + t (\sum_{j = 0 \sim n} t^j_2 p_j - \sum_{j = 0 \sim n} t^j_1 p_j) \in S\)である。
4: 注
ベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）でないセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）は必ずしも当該ベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）アファインシンプレックス（単体）ではない、あるリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）は必ずしも当該ベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）アファインシンプレックス（単体）ではないという命題で証明されているとおり。
