540: リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）はベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）である

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リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）はベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）であることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明
• 4: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のポイントたちのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）のアファインサブセット（部分集合）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）はベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V$: $\in \text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }$
$\{p_0,...,p_n\}$: $\subseteq V$, $\in \{V\text{ 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）たち }\}$
$S$: $=\{\sum _{j=0\sim n}{t}^j{p}_j\in V|t^j\in \mathbb{R},\sum _{j=0\sim n}{t}^j=1\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\exists }J\subset \{0,...,n\}$
(
$\{p_j|j\in J\}\in \{V\text{ 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）たち }\}$
$\wedge$
$S=\{\sum _{j\in J}{t}^j{p}_j\in V|t^j\in \mathbb{R},\sum _{j=0\sim n}{t}^j=1\}$
)
//

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2: 自然言語記述

任意のベクトルたちスペース（空間）$V$、ベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）$p_0,...,p_n\in V$に対して、当該ベースポイントたちのセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）$S:=\{\sum _{j=0\sim n}{t}^j{p}_j\in V|t^j\in \mathbb{R},\sum _{j=0\sim n}{t}^j=1\}$は、当該ベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）$\{p_j|j\in J\}$、ここで、$J\subset \{0,...,n\}$、によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）である。

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3: 証明

以下を満たすあるベースポイント$p_k$、つまり、$p_k-p_0=\sum _{j\ne 0,k}{t}^{\prime j}(p_j-p_0)$、ここで、$t^{\prime j}\in \mathbb{R}$、がある。

$S$上の任意のポイントは$\sum _{j=0\sim n}{t}^j{p}_j=t^k{p}_k+\sum _{j\ne k}{t}^j{p}_j=t^k(p_0+\sum _{j\ne 0,k}{t}^{\prime j}(p_j-p_0))+\sum _{j\ne k}{t}^j{p}_j=(t^k-\sum _{j\ne 0,k}{t}^k{t}^{\prime j}+t^0)p_0+\sum _{j\ne 0,k}(t^k{t}^{\prime j}+t^j)p_j$、それは、当該ベースポイントたちから$p_k$を除いたセット（集合）（それを私たちは、リデュースト（切り詰められた）ベースポイントたちのセット（集合）と呼ぶ）のリニア（線形）コンビネーションである。それらコエフィシェント（係数）たちの合計は$t^k-\sum _{j\ne 0,k}{t}^k{t}^{\prime j}+t^0+\sum _{j\ne 0,k}(t^k{t}^{\prime j}+t^j)=\sum t^j=1$である。したがって、それは、当該リデュースト（切り詰められた）ベースポイントたちのセット（集合）のアファインコンビネーションである。

その一方、当該リデュースト（切り詰められた）ベースポイントたちのセット（集合）の任意のアファインコンビネーション$\sum _{j\ne k}{t}^{″j}{p}_j$、ここで、$\sum _{j\ne k}{t}^{″j}=1$、は$S$内にいる、なぜなら、それは単に$t^{″k}=0$である特殊ケースにすぎない。

したがって、当該リデュースト（切り詰められた）ベースポイントたちのセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）$\{\sum _{j\ne k}{t}^j{p}_j\in V|t^j\in \mathbb{R},\sum _{j\ne k}{t}^j=1\}$は$S$に他ならない。

もしも、当該リデュースト（切り詰められた）ベースポイントたちのセット（集合）がアファインインディペンデント（独立）でなければ、当該プロセスを繰り返そう、そして、最終的には、リデュースト（切り詰められた）ベースポイントたちのセット（集合）はアファインインディペンデント（独立）になり、$S$は当該ベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）である。

$S$は実際に$V$のアファインサブセット（部分集合）であることを証明しよう。

$\sum _{j=0\sim n}{t}_1^j{p}_j,\sum _{j=0\sim n}{t}_2^j{p}_j\in S$は任意のポイントたちであるとしよう。Sがアファインであるというのは、$t\in \mathbb{R}$である時はいつも、$\sum _{j=0\sim n}{t}_1^j{p}_j+t(\sum _{j=0\sim n}{t}_2^j{p}_j-\sum _{j=0\sim n}{t}_1^j{p}_j)$は$S$上にあるということである。

$\sum _{j=0\sim n}{t}_1^j{p}_j+t(\sum _{j=0\sim n}{t}_2^j{p}_j-\sum _{j=0\sim n}{t}_1^j{p}_j)=\sum _{j=0\sim n}(t_1^j(1-t)+t{t}_2^j)p_j$. $\sum _{j=0\sim n}(t_1^j(1-t)+t{t}_2^j)=\sum _{j=0\sim n}(t_1^j(1-t))+\sum _{j=0\sim n}(t{t}_2^j)=(1-t)\sum _{j=0\sim n}{t}_1^j+t\sum _{j=0\sim n}{t}_2^j=1-t+t=1$。

したがって、$t\in \mathbb{R}$である時はいつも、$\sum _{j=0\sim n}{t}_1^j{p}_j+t(\sum _{j=0\sim n}{t}_2^j{p}_j-\sum _{j=0\sim n}{t}_1^j{p}_j)\in S$である。

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4: 注

ベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）でないセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）は必ずしも当該ベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）アファインシンプレックス（単体）ではない、あるリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）は必ずしも当該ベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）アファインシンプレックス（単体）ではないという命題で証明されているとおり。

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参考資料

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