546: オリエンテイテッド（方向付けされた）アファインシンプレックス（単体）のフェイス

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オリエンテイテッド（方向付けされた）アファインシンプレックス（単体）のフェイスの定義

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、オリエンテイテッド（方向付けされた）アファインシンプレックス（単体）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、オリエンテイテッド（方向付けされた）アファインシンプレックス（単体）のフェイスの定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V$: $\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$\{p_0,...,p_n\}$: $\subseteq V$, $\in \{V\text{ 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）たち }\}$
$(p_0,...,p_n)$: $=\text{ 当該オリエンテイテッド（方向づけされた）アファインシンプレックス（単体） }$
$\ast fac{e}_{\{j_1,...,j_l\}}((p_0,...,p_n))$: $=(-1{)}^{j_1}...(-1{)}^{j_l}(p_0,...,\widehat{p_{j_1}},...,\widehat{p_{j_l}},...,p_n)$、ここで、$\{j_1,...,j_l\}\subseteq \{0,...,n\}$、ここで、$j_1<...<j_l$で、ハットマークは当該要素が欠けていることを示す
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コンディションたち:
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$fac{e}_{\{j_1,...,j_l\}}((p_0,...,p_n))$は、$(p_0,...,p_n)$の$(n-l)$-フェイスと呼ばれる（$(n+1)!/(l!(n+1-l)!)$個の$(n-l)$-フェイスたちがある）。

$0=l$である時、$fac{e}_{\{\}}([p_0,...,p_n])=[p_0,...,p_n]$は、$[p_0,...,p_n]$のフェイスの一種である。

$0<l$である時、$fac{e}_{\{j_1,...,j_l\}}([p_0,...,p_n])$は、$[p_0,...,p_n]$のプロパー（真）フェイスと呼ばれる。

$fac{e}_j((p_0,...,p_n)):=fac{e}_{\{j\}}((p_0,...,p_n))$は、$(p_0,...,p_n)$の$j$番目フェイスと呼ばれる。

$(p_0,...,p_n)$の任意のイーブン（偶）パリティパーミュテーション（並べ替え）$\sigma$に対して$(p_0,...,p_n)=({\sigma }_0,...,{\sigma }_n)$であるから、$(p_0,...,p_n)$の$j$番目フェイスは必ずしも$({\sigma }_0,...,{\sigma }_n)$の$j$番目フェイスではない（$p_j\ne {\sigma }_j$)の時、そうではありえない）、しかし、ある$k$に対して$p_j={\sigma }_k$であり、実のところ、$fac{e}_j((p_0,...,p_n))=fac{e}_k(({\sigma }_0,...,{\sigma }_n))$である（'注'内で証明されている）。したがって、"$j$番目フェイス"という用語は、$j$が参照している代表の指定を必要とするが、除かれるベースポイントを指定したフェイスは代表に依存しない。

しかしながら、一般的な$1<l$ケースたちに対しては、除かれるベースポイントたちを指定したある$(n-l)$-フェイスは、表現に依存するかもしれない（"注"で証明されている）。

$fac{e}_{\{j_1,...,j_l\}}((p_0,...,p_n))=fac{e}_{j_1}(...fac{e}_{j_l}((p_0,...,p_n)))$である、しかし、右辺における順序は恣意的に変えることはできない（”注”にて証明されている）。

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2: 自然言語記述

任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）$V$、ベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）セット（集合）$\{p_0,...,p_n\}\subseteq V$、オリエンテイテッド（方向づけされた）アファインシンプレックス（単体）$(p_0,...,p_n)$に対して、$(p_0,...,p_n)$の任意の$(n-k)$-フェイス$fac{e}_{\{j_1,...,j_l\}}((p_0,...,p_n))$は、$(-1{)}^{j_1}...(-1{)}^{j_l}(p_0,...,\widehat{p_{j_1}},...,\widehat{p_{j_l}},...,p_n)$、ここで、$\{j_1,...,j_l\}\subseteq \{0,...,n\}$、ここで、$j_1<...<j_l$で、ハットマークは当該要素が欠けていることを示す

$(n+1)!/(l!(n+1-l)!)$個の$(n-l)$-フェイスたちがある。

$0=l$である時、$fac{e}_{\{\}}([p_0,...,p_n])=[p_0,...,p_n]$は、$[p_0,...,p_n]$のフェイスの一種である。

$0<l$である時、$fac{e}_{\{j_1,...,j_l\}}([p_0,...,p_n])$は、$[p_0,...,p_n]$のプロパー（真）フェイスと呼ばれる。

$fac{e}_j((p_0,...,p_n)):=fac{e}_{\{j\}}((p_0,...,p_n))$は、$(p_0,...,p_n)$の$j$番目フェイスと呼ばれる。

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3: 注

$(p_0,...,p_n)=({\sigma }_0,...,{\sigma }_n)$である時、$fac{e}_j((p_0,...,p_n))=fac{e}_k(({\sigma }_0,...,{\sigma }_n))$、ここで、$p_j={\sigma }_k$、であることを証明しよう。

一般性を失うことなく、$j\le k$であると仮定しよう。

$(p_0,...,p_n)$は、$k-j$スイッチたちによって並べ替えられて、$p_j$が$k$番目位置にあるようになる: $p_j$と$p_{j+1}$がスイッチされる; 次に、$p_j$と$p_{j+2}$がスイッチされる; ...; そして、$p_j$と$p_k$がスイッチされる。結果は、ある$x$スイッチたちによって並べ替えられて、$({\sigma }_0,...,{\sigma }_n)$になる: $p_j$は既に$k$番目位置にあったから、それはその他のポイントたちのみを並べ替えている。$k-j+x$はイーブン（偶）$2m$である、なぜなら、$(p_0,...,p_n)$と$({\sigma }_0,...,{\sigma }_n)$は同一パリティを持つから。しかし、$(p_0,...,\widehat{p_j},...,p_n)$は$x$スイッチたちによって並べ替えられて、$({\sigma }_0,...,\widehat{{\sigma }_k},...,{\sigma }_n)$になる、明らかに、それが意味するのは、$({\sigma }_0,...,\widehat{{\sigma }_k},...,{\sigma }_n)=(-1{)}^x(p_0,...,\widehat{p_j},...,p_n)$、それが意味するのは、$(-1{)}^j(-1{)}^x({\sigma }_0,...,\widehat{{\sigma }_k},...,{\sigma }_n)=(-1{)}^j(-1{)}^x(-1{)}^x(p_0,...,\widehat{p_j},...,p_n)$、それが意味するのは、$(-1{)}^{j+x}({\sigma }_0,...,\widehat{{\sigma }_k},...,{\sigma }_n)=(-1{)}^j(p_0,...,\widehat{p_j},...,p_n)$、しかし、$k+j+x=k-j+x+2j=2m+2j$、それが意味するのは、$j+x$がイーブン（偶）である時は、$k$はイーブン（偶）であり、$j+x$がオッド（奇）である時は、$k$はオッド（奇）である、それが意味するのは、$(-1{)}^{j+x}=(-1{)}^k$、したがって、$(-1{)}^k({\sigma }_0,...,\widehat{{\sigma }_k},...,{\sigma }_n)=(-1{)}^j(p_0,...,\widehat{p_j},...,p_n)$。

$j\le k$は一般性を失わないと言ったのは、そうでなければ、代わりに、$({\sigma }_0,...,{\sigma }_n)$を$(p_0,...,p_n)$へ並べ替えすればよいから。

$1<l$である任意の一般的な$(n-l)$-フェイスケースに対しては、ある反例を見よう。$(p_0,p_1,p_2,p_3)=(p_3,p_2,p_1,p_0)$であるが、前者表現に対する$p_0,p_3$を除いたフェイスは$fac{e}_{\{0,3\}}((p_0,p_1,p_2,p_3))=(-1{)}^0(-1{)}^3(p_1,p_2)$であるが、後者表現に対する$p_0,p_3$を除いたフェイスは$fac{e}_{\{0,3\}}((p_3,p_2,p_1,p_0))=(-1{)}^0(-1{)}^3(p_2,p_1)$であり、それらは異なっている。

$fac{e}_{\{j_1,...,j_l\}}((p_0,...,p_n))=fac{e}_{j_1}(...fac{e}_{j_l}((p_0,...,p_n)))$は明らかである、なぜなら、$fac{e}_{j_k}$は$j_k$より前の要素たちのインデックスたちに影響しない。しかしながら、$fac{e}_{\{0,3\}}((p_0,p_1,p_2,p_3))$に対して、$fac{e}_3(fac{e}_0(p_0,p_1,p_2,p_3))$は非妥当でさえある（$fac{e}_3((-1{)}^0(p_1,p_2,p_3))$は非妥当である、なぜなら、$p_3$は今やインデックス$2$を持つ）、そして、もしも、除かれるポイントたちを指定して$fac{e}_2(fac{e}_0(p_0,p_1,p_2,p_3))$を意味するとしても、$fac{e}_2(fac{e}_0(p_0,p_1,p_2,p_3))=fac{e}_2((-1{)}^0(p_1,p_2,p_3))=(-1{)}^2(-1{)}^0(p_1,p_2)\ne fac{e}_{\{0,3\}}((p_0,p_1,p_2,p_3))=(-1{)}^0(-1{)}^3(p_1,p_2)$である。

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参考資料

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