オリエンテイテッド（方向付けされた）アファインシンプレックス（単体）のフェイスの定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、オリエンテイテッド（方向付けされた）アファインシンプレックス（単体）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、オリエンテイテッド（方向付けされた）アファインシンプレックス（単体）のフェイスの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( V\): \(\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( \{p_0, ..., p_n\}\): \(\subseteq V\), \(\in \{V\text{ 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）たち }\}\)
\( (p_0, ..., p_n)\): \(= \text{ 当該オリエンテイテッド（方向づけされた）アファインシンプレックス（単体） }\)
\(*face_{\{j_1, ..., j_l\}} ((p_0, ..., p_n))\): \(= (-1)^{j_1} ... (-1)^{j_l} (p_0, ..., \hat{p_{j_1}}, ..., \hat{p_{j_l}}, ..., p_n)\)、ここで、\(\{j_1, ..., j_l\} \subseteq \{0, ..., n\}\)、ここで、\(j_1 \lt ... \lt j_l\)で、ハットマークは当該要素が欠けていることを示す
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コンディションたち:
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\(face_{\{j_1, ..., j_l\}} ((p_0, ..., p_n))\)は、\((p_0, ..., p_n)\)の\((n - l)\)-フェイスと呼ばれる（\((n + 1)! / (l! (n + 1 - l)!)\)個の\((n - l)\)-フェイスたちがある）。
\(0 = l\)である時、\(face_{\{\}} ([p_0, ..., p_n]) = [p_0, ..., p_n]\)は、\([p_0, ..., p_n]\)のフェイスの一種である。
\(0 \lt l\)である時、\(face_{\{j_1, ..., j_l\}} ([p_0, ..., p_n])\)は、\([p_0, ..., p_n]\)のプロパー（真）フェイスと呼ばれる。
\(face_j ((p_0, ..., p_n)) := face_{\{j\}} ((p_0, ..., p_n))\)は、\((p_0, ..., p_n)\)の\(j\)番目フェイスと呼ばれる。
\((p_0, ..., p_n)\)の任意のイーブン（偶）パリティパーミュテーション（並べ替え）\(\sigma\)に対して\((p_0, ..., p_n) = (\sigma_0, ..., \sigma_n)\)であるから、\((p_0, ..., p_n)\)の\(j\)番目フェイスは必ずしも\((\sigma_0, ..., \sigma_n)\)の\(j\)番目フェイスではない（\(p_j \neq \sigma_j\))の時、そうではありえない）、しかし、ある\(k\)に対して\(p_j = \sigma_k\)であり、実のところ、\(face_j ((p_0, ..., p_n)) = face_k ((\sigma_0, ..., \sigma_n))\)である（'注'内で証明されている）。したがって、"\(j\)番目フェイス"という用語は、\(j\)が参照している代表の指定を必要とするが、除かれるベースポイントを指定したフェイスは代表に依存しない。
しかしながら、一般的な\(1 \lt l\)ケースたちに対しては、除かれるベースポイントたちを指定したある\((n - l)\)-フェイスは、表現に依存するかもしれない（"注"で証明されている）。
\(face_{\{j_1, ..., j_l\}} ((p_0, ..., p_n)) = face_{j_1} (... face_{j_l} ((p_0, ..., p_n)))\)である、しかし、右辺における順序は恣意的に変えることはできない（”注”にて証明されている）。
2: 自然言語記述
任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）\(V\)、ベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）セット（集合）\(\{p_0, ..., p_n\} \subseteq V\)、オリエンテイテッド（方向づけされた）アファインシンプレックス（単体）\((p_0, ..., p_n)\)に対して、\((p_0, ..., p_n)\)の任意の\((n - k)\)-フェイス\(face_{\{j_1, ..., j_l\}} ((p_0, ..., p_n))\)は、\((-1)^{j_1} ... (-1)^{j_l} (p_0, ..., \hat{p_{j_1}}, ..., \hat{p_{j_l}}, ..., p_n)\)、ここで、\(\{j_1, ..., j_l\} \subseteq \{0, ..., n\}\)、ここで、\(j_1 \lt ... \lt j_l\)で、ハットマークは当該要素が欠けていることを示す
\((n + 1)! / (l! (n + 1 - l)!)\)個の\((n - l)\)-フェイスたちがある。
\(0 = l\)である時、\(face_{\{\}} ([p_0, ..., p_n]) = [p_0, ..., p_n]\)は、\([p_0, ..., p_n]\)のフェイスの一種である。
\(0 \lt l\)である時、\(face_{\{j_1, ..., j_l\}} ([p_0, ..., p_n])\)は、\([p_0, ..., p_n]\)のプロパー（真）フェイスと呼ばれる。
\(face_j ((p_0, ..., p_n)) := face_{\{j\}} ((p_0, ..., p_n))\)は、\((p_0, ..., p_n)\)の\(j\)番目フェイスと呼ばれる。
3: 注
\((p_0, ..., p_n) = (\sigma_0, ..., \sigma_n)\)である時、\(face_j ((p_0, ..., p_n)) = face_k ((\sigma_0, ..., \sigma_n))\)、ここで、\(p_j = \sigma_k\)、であることを証明しよう。
一般性を失うことなく、\(j \le k\)であると仮定しよう。
\((p_0, ..., p_n)\)は、\(k - j\)スイッチたちによって並べ替えられて、\(p_j\)が\(k\)番目位置にあるようになる: \(p_j\)と\(p_{j + 1}\)がスイッチされる; 次に、\(p_j\)と\(p_{j + 2}\)がスイッチされる; ...; そして、\(p_j\)と\(p_{k}\)がスイッチされる。結果は、ある\(x\)スイッチたちによって並べ替えられて、\((\sigma_0, ..., \sigma_n)\)になる: \(p_j\)は既に\(k\)番目位置にあったから、それはその他のポイントたちのみを並べ替えている。\(k - j + x\)はイーブン（偶）\(2 m\)である、なぜなら、\((p_0, ..., p_n)\)と\((\sigma_0, ..., \sigma_n)\)は同一パリティを持つから。しかし、\((p_0, ..., \hat{p_j}, ..., p_n)\)は\(x\)スイッチたちによって並べ替えられて、\((\sigma_0, ..., \hat{\sigma_k}, ..., \sigma_n)\)になる、明らかに、それが意味するのは、\((\sigma_0, ..., \hat{\sigma_k}, ..., \sigma_n) = (-1)^x (p_0, ..., \hat{p_j}, ..., p_n)\)、それが意味するのは、\((-1)^j (-1)^x (\sigma_0, ..., \hat{\sigma_k}, ..., \sigma_n) = (-1)^j (-1)^x (-1)^x (p_0, ..., \hat{p_j}, ..., p_n)\)、それが意味するのは、\((-1)^{j + x} (\sigma_0, ..., \hat{\sigma_k}, ..., \sigma_n) = (-1)^j (p_0, ..., \hat{p_j}, ..., p_n)\)、しかし、\(k + j + x = k - j + x + 2 j = 2 m + 2 j\)、それが意味するのは、\(j + x\)がイーブン（偶）である時は、\(k\)はイーブン（偶）であり、\(j + x\)がオッド（奇）である時は、\(k\)はオッド（奇）である、それが意味するのは、\((-1)^{j + x} = (-1)^k\)、したがって、\((-1)^k (\sigma_0, ..., \hat{\sigma_k}, ..., \sigma_n) = (-1)^j (p_0, ..., \hat{p_j}, ..., p_n)\)。
\(j \le k\)は一般性を失わないと言ったのは、そうでなければ、代わりに、\((\sigma_0, ..., \sigma_n)\)を\((p_0, ..., p_n)\)へ並べ替えすればよいから。
\(1 \lt l\)である任意の一般的な\((n - l)\)-フェイスケースに対しては、ある反例を見よう。\((p_0, p_1, p_2, p_3) = (p_3, p_2, p_1, p_0)\)であるが、前者表現に対する\(p_0, p_3\)を除いたフェイスは\(face_{\{0, 3\}} ((p_0, p_1, p_2, p_3)) = (-1)^0 (-1)^3 (p_1, p_2)\)であるが、後者表現に対する\(p_0, p_3\)を除いたフェイスは\(face_{\{0, 3\}} ((p_3, p_2, p_1, p_0)) = (-1)^0 (-1)^3 (p_2, p_1)\)であり、それらは異なっている。
\(face_{\{j_1, ..., j_l\}} ((p_0, ..., p_n)) = face_{j_1} (... face_{j_l} ((p_0, ..., p_n)))\)は明らかである、なぜなら、\(face_{j_k}\)は\(j_k\)より前の要素たちのインデックスたちに影響しない。しかしながら、\(face_{\{0, 3\}} ((p_0, p_1, p_2, p_3))\)に対して、\(face_3 (face_0 (p_0, p_1, p_2, p_3))\)は非妥当でさえある（\(face_3 ((-1)^0 (p_1, p_2, p_3))\)は非妥当である、なぜなら、\(p_3\)は今やインデックス\(2\)を持つ）、そして、もしも、除かれるポイントたちを指定して\(face_2 (face_0 (p_0, p_1, p_2, p_3))\)を意味するとしても、\(face_2 (face_0 (p_0, p_1, p_2, p_3)) = face_2 ((-1)^0 (p_1, p_2, p_3)) = (-1)^2 (-1)^0 (p_1, p_2) \neq face_{\{0, 3\}} ((p_0, p_1, p_2, p_3)) = (-1)^0 (-1)^3 (p_1, p_2)\)である。
