リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）からのアファインマップ（写像）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のポイントたちのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）はベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）からのアファインマップ（写像）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( V_1\): \(\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( V_2\): \(\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( \{p_0, ..., p_n\}\): \(\subseteq V_1\), \(\in \{V_1\text{ 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）たち }\}\)
\( S\): \(= \{\sum_{j = 0 \sim n} t^j p_j \in V \vert t^j \in \mathbb{R}, \sum_{j = 0 \sim n} t^j = 1\}\)
\(*f\): \(: S \to V_2\)
//
コンディションたち:
ベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）\(\{p'_0, ..., p'_k\} \subseteq \{p_0, ..., p_n\}\)で\(S\)をスパンするものに対して、\(f: \sum_{j = 0 \sim k} t'^j p'_j \mapsto \sum_{j = 0 \sim k} t'^j f (p'_j)\)、ここで、各\(f (p'_j)\)は恣意的に選ぶことができる。
//
2: 自然言語記述
任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち\(V_1, V_2\)、ベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）かもしれないセット（集合）\(\{p_0, ..., p_n\} \subseteq V_1\)、当該ベースポイントたちの当該セット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）\(S := \{\sum_{j = 0 \sim n} t^j p_j \in V_1 \vert t^j \in \mathbb{R}, \sum_{j = 0 \sim n} t^j = 1\}\)に対して、以下を満たす任意のマップ（写像）\(f: S \to V_2\)、つまり、当該ベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）\(\{p'_0, ..., p'_k\} \subseteq \{p_0, ..., p_n\}\)で\(S\)をスパンする（張る）ものに対して、\(f: \sum_{j = 0 \sim k} t'^j p'_j \mapsto \sum_{j = 0 \sim k} t'^j f (p'_j)\)、ここで、各\(f (p'_j)\)は恣意的に選ぶことができる
3: 注
当該ベースポイントたちのそうしたあるアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）は常に存在する、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）はベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）であるという命題によって。
\(f\)はウェルデファインド（妥当に定義されている）、なぜなら、係数たち\((t'^1, ..., t'^k)\)は\(S\)上の各ポイントに対してユニークに決定される、当該サブセット（部分集合）が決定された後は。
\(f\)は元のベースポイントたちをベースとしてそのように定義することはできない、なぜなら、\(f (p_j)\)たちは恣意的には選べない（例えば、\(p_2 = p_0 + 2 (p_1 - p_0)\)である時は、\(f (p_2) = - f (p_0) + 2 f (p_1)\)）、そして、係数たちはユニークには決まらない。
しかし、それでも、\(f\)は当該ベースポイントたちの関してリニア（線形）である、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）からの任意のアファインマップ（写像）はリニア（線形）であるという命題によって。
