547: リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）からのアファインマップ（写像）

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）からのアファインマップ（写像）の定義

---

話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

---

開始コンテキスト

• 読者は、リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のポイントたちのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）はベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）であるという命題を認めている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）からのアファインマップ（写像）の定義を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

---

本体

---

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V_1$: $\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$V_2$: $\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$\{p_0,...,p_n\}$: $\subseteq V_1$, $\in \{V_1\text{ 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）たち }\}$
$S$: $=\{\sum _{j=0\sim n}{t}^j{p}_j\in V|t^j\in \mathbb{R},\sum _{j=0\sim n}{t}^j=1\}$
$\ast f$: $:S\to V_2$
//

コンディションたち:
ベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）$\{p_0^{\prime },...,p_k^{\prime }\}\subseteq \{p_0,...,p_n\}$で$S$をスパンするものに対して、$f:\sum _{j=0\sim k}{t}^{\prime j}{p}_j^{\prime }\mapsto \sum _{j=0\sim k}{t}^{\prime j}f(p_j^{\prime })$、ここで、各$f(p_j^{\prime })$は恣意的に選ぶことができる。
//

---

2: 自然言語記述

任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち$V_1,V_2$、ベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）かもしれないセット（集合）$\{p_0,...,p_n\}\subseteq V_1$、当該ベースポイントたちの当該セット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）$S:=\{\sum _{j=0\sim n}{t}^j{p}_j\in V_1|t^j\in \mathbb{R},\sum _{j=0\sim n}{t}^j=1\}$に対して、以下を満たす任意のマップ（写像）$f:S\to V_2$、つまり、当該ベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）$\{p_0^{\prime },...,p_k^{\prime }\}\subseteq \{p_0,...,p_n\}$で$S$をスパンする（張る）ものに対して、$f:\sum _{j=0\sim k}{t}^{\prime j}{p}_j^{\prime }\mapsto \sum _{j=0\sim k}{t}^{\prime j}f(p_j^{\prime })$、ここで、各$f(p_j^{\prime })$は恣意的に選ぶことができる

---

3: 注

当該ベースポイントたちのそうしたあるアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）は常に存在する、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）はベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）であるという命題によって。

$f$はウェルデファインド（妥当に定義されている）、なぜなら、係数たち$(t^{\prime 1},...,t^{\prime k})$は$S$上の各ポイントに対してユニークに決定される、当該サブセット（部分集合）が決定された後は。

$f$は元のベースポイントたちをベースとしてそのように定義することはできない、なぜなら、$f(p_j)$たちは恣意的には選べない（例えば、$p_2=p_0+2(p_1-p_0)$である時は、$f(p_2)=-f(p_0)+2f(p_1)$）、そして、係数たちはユニークには決まらない。

しかし、それでも、$f$は当該ベースポイントたちの関してリニア（線形）である、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）からの任意のアファインマップ（写像）はリニア（線形）であるという命題によって。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>