リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のポイントたちのファイナイト（有限）セット（集合）に対して、もしも、ポイントに対して、ポイントの他のポイントたちからの差たちのセット（集合）がリニア（線形）にインディペンデント（独立）である場合、それは各ポイントに対してそうであることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のポイントたちの任意のファイナイト（有限）セット（集合）に対して、もしも、当該ポイントたちの1つに対して、当該ポイントの他のポイントたちからの差たちのセット（集合）がリニア（線形）にインディペンデント（独立）である場合、それは各ポイントに対してそうであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V\): \(\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(\{p_0, ..., p_n\}\): \(\subseteq V\)
//
ステートメントたち:
\(\exists p_k (\{p_0 - p_k, ..., \widehat{p_k - p_k}, p_n - p_k\} \text{ はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である })\)、ここで、ハットマークは、当該コンポーネントは欠けていることを示す
\(\implies\)
\(\forall p_l (\{p_0 - p_l, ..., \widehat{p_l - p_l}, p_n - p_l\} \text{ はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である })\)。
//
2: 自然言語記述
任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）\(V\)、ポイントたちの任意のファイナイト（有限）セット（集合）\(\{p_0, ..., p_n\} \subseteq V\)に対して、もしも、ある\(p_k\)に対して、\(\{p_0 - p_k, ..., \widehat{p_j - p_k}, p_n - p_k\}\)がリニア（線形）にインディペンデント（独立）である場合（ここで、ハットマークは当該コンポーネントが欠けていることを示す）、各\(p_l\)に対して、\(\{p_0 - p_l, ..., \widehat{p_l - p_l}, p_n - p_l\}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である。
3: 証明
\(\{p_0 - p_k, ..., \widehat{p_k - p_k}, p_n - p_k\}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であると仮定しよう。
\(l\)は任意の\(l \in \{0, ..., n\}\)で\(l \neq k\)および\(J_l := \{0, ..., n\} \setminus \{l\}\)であるとしよう。
\(\sum_{j \in J_l} (t^j (p_j - p_l)) = 0\)としよう。\(= \sum_{j \in J_l} (t^j (p_j - p_k + p_k - p_l)) = \sum_{j \in J_l} (t^j (p_j - p_k)) - \sum_{j \in J_l} (t^j (p_l - p_k)) = \sum_{j \in J_l} (t^j (p_j - p_k)) - (\sum_{j \in J_l} t^j) (p_l - p_k)\)。すると、各\(j \neq k\)に対して\(t^j = 0\)で\(\sum_{j \in J_l} t^j = 0\)、しかし、\(\sum_{j \in J_l} t^j = t^k = 0\)。したがって、各\(t^j\)は\(0\)、それが意味するのは、\(\{p_0 - p_l, ..., \widehat{p_l - p_l}, p_n - p_l\}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるということ。
