532: モジュール（加群）のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）

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モジュール（加群）のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）の定義

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話題

About: モジュール（加群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、%リング（環）名%モジュール（加群）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、モジュール（加群）のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$R$: $\in \{\text{ 全ての\%リング（環）たち }\}$
$M$: $\in \{\text{ 全ての }R\text{ モジュール（加群）たち }\}$
$\ast S$: $\subseteq M$, $\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないセット（集合）たち }\}$
//

コンディションたち:
$\mathrm{\forall }{S}^{\prime }\subseteq S,S^{\prime }\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）セット（集合）たち }\}$
(
$\sum _{p_j\in S^{\prime }}{r}^j{p}_j=0,r^j\in R$
$⟹$
$\mathrm{\forall }j(r^j=0)$
)
//

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2: 自然言語記述

任意の%リング（環）$R$上方の任意のモジュール（加群）$M$に対して、以下を満たす任意の（アンカウンタブル（不可算）かもしれない）サブセット（部分集合）$S\subseteq M$、つまり、各ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）$S^{\prime }\subseteq S$に対して、$\sum _{p_j\in S^{\prime }}{r}^j{p}_j=0$は 各$j$に対して$r^j=0$を含意する、ここで、$r^j$は$R$の任意の要素

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3: 注

任意のベクトルたちスペース（空間）はモジュール（加群）であるから、'ベクトルたちスペース（空間）のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）'は'モジュール（加群）のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）'に他ならない。

インフィニット（無限）かもしれない$S$のリニア（線形）コンビネーションではなくて各ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）のリニア（線形）コンビネーションのことを考えなければならない、なぜなら、任意のインフィニット（無限）要素たちのリニア（線形）コンビネーションのコンバージェンス（収束）は、トポロジーやメトリック（計量）のような付加的ストラクチャー（構造）なしには定義されていない。

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参考資料

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