%リング（環）名%モジュール（加群）の定義
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リング（環）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%モジュール（加群）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(*M\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)で、任意の\(+: M \times M \to M\)（加法）オペレーションおよび任意の\(.: R \times M \to M\)（スカラーマルチプリケーション（乗法））オペレーションを持つもの
//
コンディションたち:
1) \(\forall m_1, m_2 \in M (m_1 + m_2 \in M)\)（アディション（加法）下のクローズド（閉じている）性）
\(\land\)
2) \(\forall m_1, m_2 \in M (m_1 + m_2 = m_2 + m_1)\)（アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））
\(\land\)
3) \(\forall m_1, m_2, m_3 \in M ((m_1 + m_2) + m_3 = m_1 + (m_2 + m_3))\)（アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））
\(\land\)
4) \(\exists 0 \in M (\forall m \in M (m + 0 = m))\)（0要素の存在）
\(\land\)
5) \(\forall m \in M (\exists m' \in M (m' + m = 0))\)（インバース（逆）要素の存在）
\(\land\)
6) \(\forall m \in M, \forall r \in R (r . m \in M)\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）下のクローズド（閉じている）性）
\(\land\)
7) \(\forall m \in M, \forall r_1, r_2 \in R ((r_1 + r_2) . m = r_1 . m + r_2 . m)\)（スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））
\(\land\)
8) \(\forall m_1, m_2 \in M, \forall r \in R (r . (m_1 + m_2) = r . m_1 + r . m_2)\)（要素たちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーションディストリビュータビリティ（分配性））
\(\land\)
9) \(\forall m \in M, \forall r_1, r_2 \in R ((r_1 r_2) . m = r_1 . (r_2 . m))\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））
\(\land\)
10) \(\forall m \in M (1 . m = m)\)（1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性））
//
2: 注
\(.\)は記法としてしばしば省略され、\(r m\)のようになる、\(r . m\)の代わりに。
任意の\(0\)要素は\(0\)と表記できる、なぜなら、それはユニークな\(0\)要素である、任意のモジュール（加群）はユニークな\(0\)要素を持つという命題によって: そうでなかったら、複数個の\(0\)要素たちは妥当には当該単一シンボルで記されないことになる。
\(m\)の任意のインバース（逆）は\(- m\)と記される、それは、妥当である、なぜなら、それは\(m\)のユニークなインバース（逆）である、任意のモジュール（加群）に対して、各要素はユニークなインバース（逆）を持つという命題によって。
\(- m = (- 1) m\)である、直感的に示唆されるとおり、任意のモジュール（加群）に対して、各要素のインバース（逆）は当該要素に\(- 1\)-スカラーを掛けたものであるという命題によって。
\(m - m'\)のような表記は、実のところ、\(m + (- m')\)である。
要件たち1) ~ 10)は実のところベクトルたちスペース（空間）のためのものたちと平行的である; ベクトルたちスペース（空間）とモジュール（加群）の違いはスカラーストラクチャー（構造）がフィールド（体）であるかリング（環）であるかのみである、それは顕著な違いを起こす、なぜなら、例えば、あるモジュール（加群）に対しては、\(r^1 m_1 + r^2 m_2 + r^3 m_3 = 0\)、ここで、\(r^1 \neq 0\)、は\(m_1\)が\(m_2\)および\(m_3\)のリニア（線形）コンビネーションであることを含意しない、なぜなら、\({r^1}^{-1}\)は存在する保障がない。
