%リング（環）名%モジュール（加群）の定義
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リング（環）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%モジュール（加群）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(*M\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)で任意の\(+: M \times M \to M\) （アディション（加法））オペレーションおよび任意の\(.: R \times M \to M\)（スカラーマルチプリケーション（乗法））オペレーションを持つもの
//
コンディションたち:
1) \(\forall m_1, m_2 \in M (m_1 + m_2 \in M)\) (アディション（加法）下のクローズド（閉じている）性）
\(\land\)
2) \(\forall m_1, m_2 \in M (m_1 + m_2 = m_2 + m_1)\) （アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））
\(\land\)
3) \(\forall m_1, m_2, m_3 \in M ((m_1 + m_2) + m_3 = m_1 + (m_2 + m_3))\) （アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））
\(\land\)
4) \(\exists 0 \in M (\forall m \in M (m + 0 = m))\) （0要素の存在）
\(\land\)
5) \(\forall m \in M (\exists m' \in M (m' + m = 0))\) （インバース（逆）ベクトルの存在）
\(\land\)
6) \(\forall m \in M, \forall r \in R (r . m \in M)\) （スカラーマルチプリケーション（乗法）下のクローズド（閉じている）性）
\(\land\)
7) \(\forall m \in M, \forall r_1, r_2 \in R ((r_1 + r_2) . m = r_1 . m + r_2 . m)\) （スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））
\(\land\)
8) \(\forall m_1, m_2 \in M, \forall r \in R (r . (m_1 + m_2) = r . m_1 + r . m_2)\) （要素たちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーションディストリビュータビリティ（分配性））
\(\land\)
9) \(\forall m \in M, \forall r_1, r_2 \in R ((r_1 r_2) . m = r_1 . (r_2 . m))\) （スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））
\(\land\)
10) \(\forall m \in M (1 . m = m)\) （1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性））
//
2: 自然言語記述
任意のセット（集合）\(M\)で以下の条件たちを満たす任意の\(+: M \times M \to M\)（アディション（加法））オペレーションおよび任意のリング（環）\(R\)に関する任意の\(.: R \times M \to M\)（スカラーマルチプリケーション（乗法））オペレーションを持つもの、つまり、1) 任意の要素たち\(m_1, m_2 \in M\)に対して、\(m_1 + m_2 \in M\) (アディション（加法）下のクローズド（閉じている）性）; 2) 任意の要素たち\(m_1, m_2 \in M\)に対して、\(m_1 + m_2 = m_2 + m_1\) （アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））; 3) 任意の要素たち\(m_1, m_2, m_3 \in M\)に対して、\((m_1 + m_2) + m_3 = m_1 + (m_2 + m_3)\) （アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））; 4) 以下を満たすある0要素\(0 \in M\)、つまり、各\(m \in M\)に対して、\(m + 0 = m\)、がある （0要素の存在）; 5) 任意の要素\(m \in M\)に対して、以下を満たすあるインバース（逆）要素\(m' \in M\)、つまり、\(m' + m = 0\)、がある （インバース（逆）ベクトルの存在）; 6) 任意の要素\(m \in M\)および任意のスカラー\(r \in R\)に対して、\(r . m \in M\) （スカラーマルチプリケーション（乗法）下のクローズド（閉じている）性）; 7) 任意の要素\(m \in M\)および任意のスカラーたち\(r_1, r_2 \in R\)に対して、\((r_1 + r_2) . m = r_1 . m + r_2 . m\) （スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））; 8) 任意の要素たち\(m_1, m_2 \in M\)および任意のスカラー\(r \in R\)に対して、\(r . (m_1 + m_2) = r . m_1 + r . m_2\) （要素たちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーションディストリビュータビリティ（分配性））; 9) 任意の要素\(m \in M\)および任意のスカラーたち\(r_1, r_2 \in R\)に対して、\((r_1 r_2) . m = r_1 . (r_2 . m)\) （スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））; 10) 任意の要素\(m \in M\)に対して、\(1 . m = m\) （1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性））
3: 注
\(.\)は記法としてしばしば省略され、\(r m\)のようになる、\(r . m\)の代わりに。
要件たち1) ~ 10)は実のところベクトルたちスペース（空間）のためのものたちと平行的である; ベクトルたちスペース（空間）とモジュール（加群）の違いはスカラーストラクチャー（構造）がフィールド（体）であるかリング（環）であるかのみである、それは顕著な違いを起こす、なぜなら、例えば、あるモジュール（加群）に対しては、\(r^1 m_1 + r^2 m_2 + r^3 m_3 = 0\)、ここで、\(r^1 \neq 0\)、は\(m_1\)が\(m_2\)および\(m_3\)のリニア（線形）コンビネーションであることを含意しない、なぜなら、\({r^1}^{-1}\)は存在する保障がない。
