2024年4月14日日曜日

531: %リング（環）名%モジュール（加群）

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%リング（環）名%モジュール（加群）の定義

話題


About: モジュール（加群）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、%リング（環）名%モジュール（加群）の定義を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
R: ∈{ 全てのリング（環）たち }
∗M: ∈{ 全てのセット（集合）たち }で任意の+:M×M→M （アディション（加法））オペレーションおよび任意の.:R×M→M（スカラーマルチプリケーション（乗法））オペレーションを持つもの
//

コンディションたち:
1) ∀m1,m2∈M(m1+m2∈M) (アディション（加法）下のクローズド（閉じている）性）
∧
2) ∀m1,m2∈M(m1+m2=m2+m1) （アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））
∧
3) ∀m1,m2,m3∈M((m1+m2)+m3=m1+(m2+m3)) （アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））
∧
4) ∃0∈M(∀m∈M(m+0=m)) （0要素の存在）
∧
5) ∀m∈M(∃m′∈M(m′+m=0)) （インバース（逆）ベクトルの存在）
∧
6) ∀m∈M,∀r∈R(r.m∈M) （スカラーマルチプリケーション（乗法）下のクローズド（閉じている）性）
∧
7) ∀m∈M,∀r1,r2∈R((r1+r2).m=r1.m+r2.m) （スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））
∧
8) ∀m1,m2∈M,∀r∈R(r.(m1+m2)=r.m1+r.m2) （要素たちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーションディストリビュータビリティ（分配性））
∧
9) ∀m∈M,∀r1,r2∈R((r1r2).m=r1.(r2.m)) （スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））
∧
10) ∀m∈M(1.m=m) （1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性））
//

2: 自然言語記述


任意のセット（集合）Mで以下の条件たちを満たす任意の+:M×M→M（アディション（加法））オペレーションおよび任意のリング（環）Rに関する任意の.:R×M→M（スカラーマルチプリケーション（乗法））オペレーションを持つもの、つまり、1) 任意の要素たちm1,m2∈Mに対して、m1+m2∈M (アディション（加法）下のクローズド（閉じている）性）; 2) 任意の要素たちm1,m2∈Mに対して、m1+m2=m2+m1 （アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））; 3) 任意の要素たちm1,m2,m3∈Mに対して、(m1+m2)+m3=m1+(m2+m3) （アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））; 4) 以下を満たすある0要素0∈M、つまり、各m∈Mに対して、m+0=m、がある （0要素の存在）; 5) 任意の要素m∈Mに対して、以下を満たすあるインバース（逆）要素m′∈M、つまり、m′+m=0、がある （インバース（逆）ベクトルの存在）; 6) 任意の要素m∈Mおよび任意のスカラーr∈Rに対して、r.m∈M （スカラーマルチプリケーション（乗法）下のクローズド（閉じている）性）; 7) 任意の要素m∈Mおよび任意のスカラーたちr1,r2∈Rに対して、(r1+r2).m=r1.m+r2.m （スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））; 8) 任意の要素たちm1,m2∈Mおよび任意のスカラーr∈Rに対して、r.(m1+m2)=r.m1+r.m2 （要素たちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーションディストリビュータビリティ（分配性））; 9) 任意の要素m∈Mおよび任意のスカラーたちr1,r2∈Rに対して、(r1r2).m=r1.(r2.m) （スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））; 10) 任意の要素m∈Mに対して、1.m=m （1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性））

3: 注


.は記法としてしばしば省略され、rmのようになる、r.mの代わりに。

要件たち1) ~ 10)は実のところベクトルたちスペース（空間）のためのものたちと平行的である; ベクトルたちスペース（空間）とモジュール（加群）の違いはスカラーストラクチャー（構造）がフィールド（体）であるかリング（環）であるかのみである、それは顕著な違いを起こす、なぜなら、例えば、あるモジュール（加群）に対しては、r1m1+r2m2+r3m3=0、ここで、r1≠0、はm1がm2およびm3のリニア（線形）コンビネーションであることを含意しない、なぜなら、r1−1は存在する保障がない。

参考資料
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