557: アファインシンプレックス（単体）のシンプレックスバウンダリー（境界）

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アファインシンプレックス（単体）のシンプレックスバウンダリー（境界）の定義

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、アファインシンプレックス（単体）のシンプレックスインテリア（内部）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、アファインシンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）バウンダリー（境界）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V$: $\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$\{p_0,...,p_n\}$: $\subseteq V$, $\in \{V\text{ 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）たち }\}$
$[p_0,...,p_n]$: $=\{\sum _{j=0\sim n}{t}^j{p}_j\in V|t^j\in \mathbb{R},\sum _{j=0\sim n}{t}^j=1\wedge 0\le t^j\}$
$[p_0,...,p_n{]}^{\circ }$: $=[p_0,...,p_n]\text{ のシンプレックス（単体）インテリア（内部） }$
$\ast bou[p_0,...,p_n]$: $=[p_0,...,p_n]\setminus [p_0,...,p_n{]}^{\circ }$
//

コンディションたち:
//

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2: 自然言語記述

任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）$V$、$V$上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）セット（集合）$\{p_0,...,p_n\}$、アファインシンプレックス（単体）$[p_0,...,p_n]=\{\sum _{j=0\sim n}{t}^j{p}_j\in V|t^j\in \mathbb{R},\sum _{j=0\sim n}{t}^j=1\wedge 0\le t^j\}$、$[p_0,...,p_n]$のシンプレックス（単体）インテリア（内部）$[p_0,...,p_n{]}^{\circ }$に対して、$[p_0,...,p_n]\setminus [p_0,...,p_n{]}^{\circ }$、$bou[p_0,...,p_n]$と表記される

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3: 注

"シンプレックス（単体）バウンダリー（境界）"のように修飾されている理由は、それは、'トポロジカルバウンダリー（境界）'とは違うかもしれないこと: あるシンプリシャルコンプレックスが1つのシンプレックス（単体）とそのプロパー（真）フェイスたちから成る時、当該シンプレックス（単体）の、当該コンプレックスのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）上におけるトポロジカルバウンダリー（境界）は空集合である、なぜなら、当該シンプレックス（単体）のコンプリメント（補集合）はアンダーライイング（下にある）スペース（空間）上で空である; 同じケースにおいて、当該シンプレックス（単体）の任意のプロパー（真）フェイスの、当該コンプレックスのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）上におけるトポロジカルバウンダリー（境界）はスペース（空間）全体である。

広く、$S$のシンプレックスバウンダリー（境界）は$\dot{S}$と記される、そのケースでは実のところそれは問題ない、しかし、本定義は$bou[p_0,...,p_n]$を使った、なぜなら、$\dot{[p_0,...,p_n]}$は見過ごされやすすぎるように思われるから（そうでなければ、$\dot{[p_0,...,p_n]}$は全く問題ない）。

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参考資料

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