649: ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）に対して、もしも、要素たちのマルチプル（倍）がイリデューシブル（約分不能）要素によってディバイジブル（割れる）であれば、少なくとも1つの構成要素がイリデューシブル（約分不能）要素によってディバイジブル（割れる）である

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ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）に対して、もしも、要素たちのマルチプル（倍）がイリデューシブル（約分不能）要素によってディバイジブル（割れる）であれば、少なくとも1つの構成要素がイリデューシブル（約分不能）要素によってディバイジブル（割れる）であることの記述/証明

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話題

About: リング（環）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）に対して、もしも、任意の要素たちのマルチプル（倍）が任意のイリデューシブル（約分不能）要素によってディバイジブル（割れる）であれば、少なくとも1つの構成要素が当該イリデューシブル（約分不能）要素によってディバイジブル（割れる）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$R$: $\in \{\text{ 全てのユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）たち }\}$
$I$: $=\{R\text{ の全てのイリデューシブル（約分不能）要素たち }\}$
$p_1...p_n$: $p_j\in R$
$i$: $\in I$
//

ステートメント（言明）たち:
$i|p_1...p_n$
$⟹$
$\mathrm{\exists }{p}_k\in \{p_1,...,p_n\}(i|p_k)$
//

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2: 自然言語記述

任意のユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）$R$、$R$の全てのイリデューシブル（約分不能）要素たちのセット（集合）$I$、任意の$p_1...p_n$、ここで、$p_j\in R$、任意の$i\in I$に対して、もしも、$i|p_1...p_n$である場合、以下を満たす少なくとも1つの$p_k$、つまり、$i|p_k$、がある。

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3: 証明

$U$を$R$の全てのユニットたちのセット（集合）としよう。

ある$q\in R$に対して$p_1...p_n=qi$。

$p_j=u_j{i}_{j,1}...i_{j,l_j}$、ここで、$u_j\in U$および$i_{j,k}\in I$。

$q=u{i}_1...i_l$、ここで、$u\in U$および$i_j\in I$。

したがって、$u_1{i}_{1,1}...i_{1,l_1}...u_n{i}_{n,1}...i_{n,l_n}=(u_1...u_n)i_{1,1}...i_{1,l_1}...i_{n,1}...i_{n,l_n}=u{i}_1...i_{l}i$、ここで、$u_1...u_n\in U$。

それらファクタライゼイションたちはユニークであるから、ある$i_{j,k}$およびある$u^{\prime }\in U$に対して$i=u^{\prime }{i}_{j,k}$。すると、$i|p_j$、なぜなら、$p_j=u_j{i}_{j,1}...i_{j,l_j}=u_j{i}_{j,1}...i_{j,k}...i_{j,l_j}=u_j{i}_{j,1}...u^{\prime -1}i...i_{j,l_j}=u_j{u}^{\prime -1}{i}_{j,1}...\widehat{i_{j,k}}...i_{j,l_j}i$、ここで、$u_j{u}^{\prime -1}{i}_{j,1}...\widehat{i_{j,k}}...i_{j,l_j}\in R$。

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参考資料

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