ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）に対して、もしも、要素たちのマルチプル（倍）がイリデューシブル（約分不能）要素によってディバイジブル（割れる）であれば、少なくとも1つの構成要素がイリデューシブル（約分不能）要素によってディバイジブル（割れる）であることの記述/証明
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）に対して、もしも、任意の要素たちのマルチプル（倍）が任意のイリデューシブル（約分不能）要素によってディバイジブル（割れる）であれば、少なくとも1つの構成要素が当該イリデューシブル（約分不能）要素によってディバイジブル（割れる）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）たち }\}\)
\(I\): \(= \{R \text{ の全てのイリデューシブル（約分不能）要素たち }\}\)
\(p_1 ... p_n\): \(p_j \in R\)
\(i\): \(\in I\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(i \vert p_1 ... p_n\)
\(\implies\)
\(\exists p_k \in \{p_1, ..., p_n\} (i \vert p_k)\)
//
2: 自然言語記述
任意のユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）\(R\)、\(R\)の全てのイリデューシブル（約分不能）要素たちのセット（集合）\(I\)、任意の\(p_1 ... p_n\)、ここで、\(p_j \in R\)、任意の\(i \in I\)に対して、もしも、\(i \vert p_1 ... p_n\)である場合、以下を満たす少なくとも1つの\(p_k\)、つまり、\(i \vert p_k\)、がある。
3: 証明
\(U\)を\(R\)の全てのユニットたちのセット（集合）としよう。
ある\(q \in R\)に対して\(p_1 ... p_n = q i\)。
\(p_j = u_j i_{j, 1} ... i_{j, l_j}\)、ここで、\(u_j \in U\)および\(i_{j, k} \in I\)。
\(q = u i_1 ... i_l\)、ここで、\(u \in U\)および\(i_j \in I\)。
したがって、\(u_1 i_{1, 1} ... i_{1, l_1} ... u_n i_{n, 1} ... i_{n, l_n} = (u_1 ... u_n) i_{1, 1} ... i_{1, l_1} ... i_{n, 1} ... i_{n, l_n} = u i_1 ... i_l i\)、ここで、\(u_1 ... u_n \in U\)。
それらファクタライゼイションたちはユニークであるから、ある\(i_{j, k}\)およびある\(u' \in U\)に対して\(i = u' i_{j, k}\)。すると、\(i \vert p_j\)、なぜなら、\(p_j = u_j i_{j, 1} ... i_{j, l_j} = u_j i_{j, 1} ... i_{j, k} ... i_{j, l_j} = u_j i_{j, 1} ... u'^{-1} i ... i_{j, l_j} = u_j u'^{-1} i_{j, 1} ... \hat{i_{j, k}} ... i_{j, l_j} i\)、ここで、\(u_j u'^{-1} i_{j, 1} ... \hat{i_{j, k}} ... i_{j, l_j} \in R\)。
