2024年6月23日日曜日

650: ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）に対して、ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちを得る、サブセット（部分集合）の各要素をアソーシエイトたちクオシエント（商）セット（集合）のレプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）を用いてファクタライズ（因子分解）することによる方法

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ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）に対して、ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちを得る、サブセット（部分集合）の各要素をアソーシエイトたちクオシエント（商）セット（集合）のレプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）を用いてファクタライズ（因子分解）することによる方法の記述/証明

話題


About: リング（環）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）に対して、任意のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちを得る、当該サブセット（部分集合）の各要素をアソーシエイトたちクオシエント（商）セット（集合）のレプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）を用いてファクタライズ（因子分解）することによる方法が機能するという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
R: ∈{ 全てのユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）たち }
U: ={R の全てのユニットたち }
I: ={R の全てのイリデューシブル（約分不能）要素たち }
R/Asc: = アソシエイトたちイクイバレンスリレーション（同値関係）によるクオシエント（商）セット（集合） 
f: :R/Asc→Rで以下を満たすもの、つまり、∀p∈R/Asc,f(p)∈p
R/Asc−f―: =R/Asc の f による  レプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合） 
S: ={p1,...,pn}∈{R の全てのファイナイト（有限）サブセット（部分集合）たち }
gcd(S):
//

ステートメント（言明）たち:
gcd(S)は以下のステップたちで得ることができる:
1) ∀pj∈S(∃uj∈U,∃ij,k∈I∩R/Asc−f―(pj=ujij,1...ij,lj))
2) I′:=∪j∈{1,...,n}{ij,1...ij,lj}={i1,...,il}
3) pj=uji1cj,1...ilcj,l、ここで、0≤cj,k
4) (m1,...,ml)=(min({cj,1|j∈{1,...,n}}),...,min({cj,l|j∈{1,...,n}}))
5) gcd(S)=Asc(i1m1...ilml).
//

2: 自然言語記述


任意のユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）R、Rの全てのユニットたちのセット（集合）U、Rの全てのイリデューシブル（約分不能）要素たちのセット（集合）I、アソシエイトたちイクイバレンスリレーション（同値関係）によるクオシエント（商）セット（集合）R/Asc、以下を満たす任意のマップ（写像）f:R/Asc→R、つまり、各p∈R/Ascに対してf(p)∈p、R/Ascのfによるレプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）R/Asc−f―、任意のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）S={p1,...,pn}⊆Rに対して、最大共通ディバイザー（因子）たちgcd(S)は以下のステップたちによって得ることができる: 1) 各pj∈Sをpj=ujij,1...ij,ljとして表わす、ここで、uj∈Uおよびij,k∈I∩R/Asc−f―; 2) I′:=∪j∈{1,...,n}{ij,1...ij,lj}={i1,...,il}を定義する; 3) 各pjをpj=uji1cj,1...ilcj,lとして表わす、ここで、0≤cj,k; 4) (m1,...,ml)=(min({cj,1|j∈{1,...,n}}),...,min({cj,l|j∈{1,...,n}}))を定義する; 5) gcd(S)=Asc(i1m1...ilml)。

3: 証明


Rはユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）であるので、pjは本当にpj=ujij,1...ij,ljとして表現できる。それは、ユニークに、当該イリデューシブル（約分不能）要素たちの順序という自由度だけで、決定される: ij,kはR/Asc−f―から選ばれているので、Asc(ij,k)の別の要素を選ぶという自由度はない。

I′={i1,...,il}の要素たちは、それぞれ別のアソシエイトたちイクバレンス（同値）クラスたちからのものである。

表現pj=uji1cj,1...ilcj,lは完全にユニークである、なぜなら、順序はI′の要素たちをインデックス付けることによって指定されている。ikが実際にはそこに現れない時は、cj,k=0。

(m1,...,ml)はユニークに決定される。

gcd(S)=Asc(i1m1...ilml)はユニークに決定される。

Asc(i1m1...ilml)は本当にgcd(S)であることを見よう。

d:=i1m1...ilmlはある共通ディバイザー（因子）であることを見よう。

pj=uji1cj,1...ilcj,l=uji1cj,1−m1i1m1...ilcj,l−mlilml、ここで、0≤cj,k−mk、=uji1cj,1−m1...ilcj,l−mli1m1...ilml=uji1cj,1−m1...ilcj,l−mld、ここで、uji1cj,1−m1...ilcj,l−ml∈R。

各共通ディバイザー（因子）d′に対して、あるq∈Rに対してd=qd′。

d′=u′i1′c1′...im′cm′、ここで、u′∈U、ij′∈I∩R/Asc−f―、そして、1≤ck′、それはユニークである、当該イリデューシブル（約分不能）要素たちの順序という自由度だけを持って。

pj=uji1cj,1...ilcj,l=qjd′=qju′i1′c1′...im′cm′であり当該ファクタライゼイションたちは順序だけの自由度を持ってユニークであるから、各is′に対して、is′=ikおよびcs′≤cj,k。したがって、cs′≤mk=min({cj,k|j∈{1,...,n}})。{i1′,...,im′}∪{i1,...,il}を(i1,...,il)として並べ替えることにより、d′=u′i1c1″...ilcl″、ここで、各j∈{1,...,l}に対してcj″≤mj。

したがって、d=i1m1...ilml=u′−1u′i1m1−c1″i1c1″...ilml−cl″ilcl″=u′−1i1m1−c1″...ilml−cl″u′i1c1″...ilcl″=qd′、ここで、q=u′−1i1m1−c1″...ilml−cl″∈R。

したがって、d∈gcd(S)。

gcd(S)=Asc(d)、任意のインテグラルドメイン（整域）および任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちが存在する場合、それらは、ある最大共通ディバイザー（因子）のアソシエイトたちであるという命題によって。

参考資料
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