ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）の定義
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、インテグラルドメイン（整域）の定義を知っている。
- 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）のイリデューシブル（約分不能）要素の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(*R\): \(\in \{\text{ 全てのインテグラルドメイン（整域）たち }\}\)
\( U\): \(= \{R \text{ の全てのユニットたち }\}\)
\( I\): \(= \{R \text{ の全てのイリデューシブル（約分不能）要素たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(\forall p \in R (\exists u \in U, \exists i_j \in I (p = u i_1 ... i_n))\)
\(\land\)
(
\(\exists u' \in U, \exists i'_j \in U (p = u' i'_1 ... i'_m)\)
\(\implies\)
\(m = n \land \exists f: \{i_1, ..., i_n\} \to \{i'_1, ..., i'_n\} \in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}, \exists u_j \in U (i'_j = u_j f (i_j))\)
)
//
2: 自然言語記述
以下を満たす任意のインテグラルドメイン（整域）\(R\)、つまり、\(R\)の全てのユニットたちのセット（集合）\(U\)、\(R\)の全てのイリデューシブル（約分不能）要素たちのセット（集合）\(I\)に対して、任意の要素\(p \in R\)は、ある\(u \in U\)およびある\(i_j \in I\)に対して\(p = u i_1 ... i_n\)として表現できる、そして、もしも、ある\(u' \in U\)およびある\(i'_j \in I\)に対して\(p = u' i'_1 ... i'_m\)である場合、\(m = n\)であり、以下を満たすあるバイジェクション（全単射）\(f: \{i_1, ..., i_n\} \to \{i'_1, ..., i'_n\}\)、つまり、ある\(u_j \in U\)に対して\(i'_j = u_j f (i_j)\)がある
3: 注
本カテゴリー化は有用である、なぜなら、リング（環）たちのいくつかのタイプたちは、ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）たちであると知られている: 特に、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）（各ユークリディアンドメイン（領域）（\(\mathbb{Z}\)はそうである）はそうである）は、ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）である。
