648: ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）

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ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）の定義

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話題

About: リング（環）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、インテグラルドメイン（整域）の定義を知っている。
• 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）のイリデューシブル（約分不能）要素の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$\ast R$: $\in \{\text{ 全てのインテグラルドメイン（整域）たち }\}$
$U$: $=\{R\text{ の全てのユニットたち }\}$
$I$: $=\{R\text{ の全てのイリデューシブル（約分不能）要素たち }\}$
//

コンディションたち:
$\mathrm{\forall }p\in R(\mathrm{\exists }u\in U,\mathrm{\exists }{i}_j\in I(p=u{i}_1...i_n))$
$\wedge$
(
$\mathrm{\exists }{u}^{\prime }\in U,\mathrm{\exists }{i}_j^{\prime }\in U(p=u^{\prime }{i}_1^{\prime }...i_m^{\prime })$
$⟹$
$m=n\wedge \mathrm{\exists }f:\{i_1,...,i_n\}\to \{i_1^{\prime },...,i_n^{\prime }\}\in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\},\mathrm{\exists }{u}_j\in U(i_j^{\prime }=u_{j}f(i_j))$
)
//

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2: 自然言語記述

以下を満たす任意のインテグラルドメイン（整域）$R$、つまり、$R$の全てのユニットたちのセット（集合）$U$、$R$の全てのイリデューシブル（約分不能）要素たちのセット（集合）$I$に対して、任意の要素$p\in R$は、ある$u\in U$およびある$i_j\in I$に対して$p=u{i}_1...i_n$として表現できる、そして、もしも、ある$u^{\prime }\in U$およびある$i_j^{\prime }\in I$に対して$p=u^{\prime }{i}_1^{\prime }...i_m^{\prime }$である場合、$m=n$であり、以下を満たすあるバイジェクション（全単射）$f:\{i_1,...,i_n\}\to \{i_1^{\prime },...,i_n^{\prime }\}$、つまり、ある$u_j\in U$に対して$i_j^{\prime }=u_{j}f(i_j)$がある

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3: 注

本カテゴリー化は有用である、なぜなら、リング（環）たちのいくつかのタイプたちは、ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）たちであると知られている: 特に、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）（各ユークリディアンドメイン（領域）（$\mathbb{Z}$はそうである）はそうである）は、ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）である。

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参考資料

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