637: クオシエント（商）セット（集合）

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

クオシエント（商）セット（集合）の定義

---

話題

About: セット（集合）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

---

開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）上のイクイバレンスリレーション（同値関係）の定義を知っている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、クオシエント（商）セット（集合）の定義を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

---

本体

---

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$S$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$\sim$: $\in \{S\text{ 上の全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}$
$\ast S/\sim$: $=\{p\in Pow(S)\setminus \mathrm{\varnothing }|\mathrm{\forall }{p}^{\prime },p^{″}\in p(p^{\prime }\sim p^{″})\wedge \mathrm{\forall }{p}^{\prime }\in p,\mathrm{\forall }{p}^{″}\in S\setminus p(\mathrm{\neg }{p}^{\prime }\sim p^{″})\}$
//

コンディションたち:
//

$S/\sim$はウェルデファインド（妥当に定義された）である、なぜなら、それは、妥当なフォーミュラを用いてサブセット（部分集合）アキシオム（公理）に基づいて定義されている。$S/\sim$が$S$をパーティション分けするかどうかは別の問題であるが、$S/\sim$は本当に$S$をパーティション分けする、"注"内に示されているとおり。

別の言葉で言うと、クオシエント（商）セット（集合）は、$S$の$\sim$によるイクイバレンス（同値）クラスたちのセット（集合）である。

---

2: 自然言語記述

任意のセット（集合）$S$、$S$上の任意のイクイバレンスリレーション（同値関係）$\sim$に対して、$S/\sim =\{p\in Pow(S)\setminus \mathrm{\varnothing }|\mathrm{\forall }{p}^{\prime },p^{″}\in p(p^{\prime }\sim p^{″})\wedge \mathrm{\forall }{p}^{\prime }\in p,\mathrm{\forall }{p}^{″}\in S\setminus p(\mathrm{\neg }{p}^{\prime }\sim p^{″})\}$

---

3: 注

$S/\sim$は$S$のパーティション分けである、それが意味するのは、$S$の各要素は$S/\sim$のある単一要素内に包含されているということ: 各$p\in S$に対して、$S/\sim$の要素 $[p]$で$\{p^{\prime }\in S|p^{\prime }\sim p\}$によって定義されたものがある、なぜなら、各$p^{\prime },p^{″}\in [p]$に対して、$p^{\prime }\sim p$および$p^{″}\sim p$、それが意味するのは、$p^{\prime }\sim p^{″}$、そして、各$p^{\prime }\in [p],p^{″}\in S\setminus [p]$に対して、$p\sim p^{\prime }$および$\mathrm{\neg }p\sim p^{″}$、それが意味するのは、$\mathrm{\neg }{p}^{\prime }\sim p^{″}$、なぜなら、もしも、$p^{\prime }\sim p^{″}$であったら、$p\sim p^{″}$、矛盾; $p$は$S/\sim$の他のどの他の要素にも属さない、なぜなら、もしも、$p$が別の要素$[p^{\prime }]\in S/\sim$に属していたら、各要素$p^{″}\in [p^{\prime }]$に対して、$p^{″}\sim p$、それが意味するのは、$p^{″}\in [p]$、そして、各要素$p^{″}\in [p]$に対して、$p^{″}\sim p$、それが意味するのは、$p^{″}\in [p^{\prime }]$、したがって、$[p^{\prime }]=[p]$、結局のところ。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>