クオシエント（商）セット（集合）の定義
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）上のイクイバレンスリレーション（同値関係）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、クオシエント（商）セット（集合）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( S\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\( \sim\): \(\in \{S \text{ 上の全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}\)
\(*S / \sim\): \(= \{p \in Pow (S) \setminus \emptyset \vert \forall p', p'' \in p (p' \sim p'') \land \forall p' \in p, \forall p'' \in S \setminus p (\lnot p' \sim p'')\}\)
//
コンディションたち:
//
\(S / \sim\)はウェルデファインド（妥当に定義された）である、なぜなら、それは、妥当なフォーミュラを用いてサブセット（部分集合）アキシオム（公理）に基づいて定義されている。\(S / \sim\)が\(S\)をパーティション分けするかどうかは別の問題であるが、\(S / \sim\)は本当に\(S\)をパーティション分けする、"注"内に示されているとおり。
別の言葉で言うと、クオシエント（商）セット（集合）は、\(S\)の\(\sim\)によるイクイバレンス（同値）クラスたちのセット（集合）である。
2: 自然言語記述
任意のセット（集合）\(S\)、\(S\)上の任意のイクイバレンスリレーション（同値関係）\( \sim\)に対して、\(S / \sim = \{p \in Pow (S) \setminus \emptyset \vert \forall p', p'' \in p (p' \sim p'') \land \forall p' \in p, \forall p'' \in S \setminus p (\lnot p' \sim p'')\}\)
3: 注
\(S / \sim\)は\(S\)のパーティション分けである、それが意味するのは、\(S\)の各要素は\(S / \sim\)のある単一要素内に包含されているということ: 各\(p \in S\)に対して、\(S / \sim\)の要素 \([p]\)で\(\{p' \in S \vert p' \sim p\}\)によって定義されたものがある、なぜなら、各\(p', p'' \in [p]\)に対して、\(p' \sim p\)および\(p'' \sim p\)、それが意味するのは、\(p' \sim p''\)、そして、各\(p' \in [p], p'' \in S \setminus [p]\)に対して、\(p \sim p'\)および\(\lnot p \sim p''\)、それが意味するのは、\(\lnot p' \sim p''\)、なぜなら、もしも、\(p' \sim p''\)であったら、\(p \sim p''\)、矛盾; \(p\)は\(S / \sim\)の他のどの他の要素にも属さない、なぜなら、もしも、\(p\)が別の要素\([p'] \in S / \sim\)に属していたら、各要素\(p'' \in [p']\)に対して、\(p'' \sim p\)、それが意味するのは、\(p'' \in [p]\)、そして、各要素\(p'' \in [p]\)に対して、\(p'' \sim p\)、それが意味するのは、\(p'' \in [p']\)、したがって、\([p'] = [p]\)、結局のところ。
