バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上のポイントの周りのチャートボール（球）の定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上のポイントの周りのチャートボール（球）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ ディメンショナル（次元）バウンダリー（境界）付き } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）たち }\}\)
\( p\): \(\in M\)
\(*B_p\): \(\in \{p \text{ の } M \text{ 上の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(\exists (B_p \subseteq M, \phi_p) \in \{M \text{ 上の全てのチャートたち }\}\)
\(\land\)
\(\phi_p (B_p) \in \{\phi_p (p) \text{ の周りの } \mathbb{R}^d \text{ 上の全てのオープンボール（開球）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意の\(d\)ディメンショナル（次元）バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(M\)、任意のポイント\(p \in M\)、\(p\)の以下を満たす任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(B_p \subseteq M\)、つまり、あるチャート\((B_p \subseteq M, \phi_p)\)があり、\(\phi_p (B_p) \subseteq \mathbb{R}^d\)は\(\phi_p (p)\)の周りのオープンボール（開球）である
3: 注
\(p\)がバウンダリー（境界）ポイントである時は、\(p\)の周りにチャートボール（球）はない。
\(p\)がインテリア（内部）ポイントである時は、\(p\)の周りには常にあるチャートボールがある、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）に対して、各インテリア（内部）ポイントはあるチャートボールを持ち、各バウンダリー（境界）ポイントはあるチャートハーフボール（半球）を持つという命題によって。
本概念は、'メトリックスペース（計量付き空間）上のポイントの周りのオープンボール（開球）'とは異なる: 任意のメトリックスペース（計量付き空間）\(T\)上で、各\(p \in M\)の周りに、\(B_{p, \epsilon} := \{p' \in M \vert dist (p', p) \lt \epsilon\}\)は常にオープンボール（開球）であるが、それは必ずしも\(\mathbb{R}^d\)上のオープンボール（開球）へホメオモーフィズム（位相同形写像）ではない
"\(M\)上の\(p\)の周りのチャートオープンボール（開球）"とも呼び得るが、勿論、各チャートドメイン（定義域）はオープンサブセット（開部分集合）であることは知られている。
