702: バウンダリー（境界）付きC∞マニフォールド（多様体）上のポイントの周りのチャートボール（球）

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バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）上のポイントの周りのチャートボール（球）の定義

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）上のチャートの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）上のポイントの周りのチャートボール（球）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ ディメンショナル（次元）バウンダリー（境界）付き }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）たち }\}$
$p$: $\in M$
$\ast B_p$: $\in \{p\text{ の }M\text{ 上の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\}$
//

コンディションたち:
$\mathrm{\exists }(B_p\subseteq M,{\varphi }_p)\in \{M\text{ 上の全てのチャートたち }\}$
$\wedge$
${\varphi }_p(B_p)\in \{{\varphi }_p(p)\text{ の周りの }{\mathbb{R}}^d\text{ 上の全てのオープンボール（開球）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意の$d$ディメンショナル（次元）バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）$M$、任意のポイント$p\in M$、$p$の以下を満たす任意のオープンネイバーフッド（開近傍）$B_p\subseteq M$、つまり、あるチャート$(B_p\subseteq M,{\varphi }_p)$があり、${\varphi }_p(B_p)\subseteq {\mathbb{R}}^d$は${\varphi }_p(p)$の周りのオープンボール（開球）である

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3: 注

$p$がバウンダリー（境界）ポイントである時は、$p$の周りにチャートボール（球）はない。

$p$がインテリア（内部）ポイントである時は、$p$の周りには常にあるチャートボールがある、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）に対して、各インテリア（内部）ポイントはあるチャートボールを持ち、各バウンダリー（境界）ポイントはあるチャートハーフボール（半球）を持つという命題によって。

本概念は、'メトリックスペース（計量付き空間）上のポイントの周りのオープンボール（開球）'とは異なる: 任意のメトリックスペース（計量付き空間）$T$上で、各$p\in M$の周りに、$B_{p,ϵ}:=\{p^{\prime }\in M|dist(p^{\prime },p)<ϵ\}$は常にオープンボール（開球）であるが、それは必ずしも${\mathbb{R}}^d$上のオープンボール（開球）へホメオモーフィズム（位相同形写像）ではない

"$M$上の$p$の周りのチャートオープンボール（開球）"とも呼び得るが、勿論、各チャートドメイン（定義域）はオープンサブセット（開部分集合）であることは知られている。

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参考資料

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