\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイント周りの\(r\)-オープンボール（開球）チャートの定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイント周りの\(r\)-オープンボール（開球）チャートの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\( m\): \(\in M\)
\( r\): \(\in \{r' \in \mathbb{R} \vert 0 \lt r'\}\)
\(*(B_{m, r} \subseteq M, \phi_m)\): \(\in \{M \text{ 上の } m \text{ 周りの全てのチャートたち } \}\)
//
コンディションたち:
\(\phi_m (B_{m, r}) = B_{\phi_m (m), r} \subseteq \mathbb{R}^d\)、ここで、\(B_{\phi_m (m), r}\)は、\(\phi_m (m)\)を中心とする半径\(r\)のオープンボール（開球）
//
2: 注
\(m\)がバウンダリーポイント（境界点）である時は、\(m\)周りの\(r\)-オープンボール（開球）はない。
\(m\)がインテリアポイント（内点）である時は、常に、\(m\)周りのある\(r\)-オープンボール（開球）チャートがある、任意のポジティブ（正）\(r\)に対して、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、任意のポジティブ（正）\(r\)に対して、各インテリアポイント（内点）はある\(r\)-オープンボール（開球）チャートを持ち、各バウンダリーポイント（境界点）はある\(r\)-オープンハーフボール（開半球）チャートを持つという命題によって。
本概念は、'メトリックスペース（計量付き空間）上のポイントの周りのオープンボール（開球）'とは異なる: 任意のメトリックスペース（計量付き空間）\(M\)上で各\(m \in M\)の周りに\(B_{m, r} := \{m' \in M \vert dist (m', m) \lt r\}\)は常にオープンボール（開球）である、それは、必ずしも\(\mathbb{R}^d\)上のいかなるオープンボール（開球）とも必ずしもホメオモーフィズム（位相同形写像）ではない: \(m\)がバウンダリーポイント（境界点）である時も、\(B_{m, r}\)はウェルデファインド（妥当に定義された）である。
