\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、インテリアポイント（内点）は\(r\)-オープンボール（開球）チャートを持ち、バウンダリーポイント（境界点）は\(r\)-オープンハーフボール（開半球）チャートを持つことの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイント周りの\(r\)-オープンボール（開球）チャートの定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイント周りの\(r\)-オープンハーフボール（開半球）チャートの定義を知っている。
- 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）に対して、任意のインテリア（内部）ポイントはレンジ（値域）がユークリディアンスペース（空間）全体であるあるチャートを持ち、任意のバウンダリー（境界）ポイントはレンジ（値域）がハーフ（半）ユークリディアンスペース（空間）全体であるあるチャートを持つという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、任意のポジティブ（正）\(r\)に対して、各インテリアポイント（内点）はある\(r\)-オープンボール（開球）チャートを持ち、各バウンダリーポイント（境界点）はある\(r\)-オープンハーフボール（開半球）チャートを持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(m\): \(\in M\)
\(r\): \(\in \{r' \in \mathbb{R} \vert 0 \lt r'\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(m \in \{M \text{ の全てのインテリアポイント（内点）たち }\}\)
\(\implies\)
\(\exists (B_{m, r} \subseteq M, \phi_m) \in \{M \text{ 上の } m \text{ の周りの全ての } r \text{ -オープンボール（開球）チャートたち }\}\)
)
\(\land\)
(
\(m \in \{M \text{ の全てのバウンダリーポイント（境界点）たち }\}\)
\(\implies\)
\(\exists (H_{m, r} \subseteq M, \phi_m) \in \{M \text{ 上の } m \text{ の周りの全ての } r \text{ -オープンハーフボール（開半球）チャートたち }\}\)
)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(m\)は任意のインテリアポイント（内点）であると仮定し、\(m\)の周りの以下を満たす任意のチャート\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)、\(\phi_m (U_m) = \mathbb{R}^d\)、を取る; ステップ2: \(\phi_m (m)\)を中心とする\(r\)-半径オープンボール（開球）\(B_{\phi_m (m), r} \subseteq \mathbb{R}^d\)を取る; ステップ3: 当該オープンボール（開球）のチャートマップ（写像）下のプリイメージ（前像）\(B_{m, r} := \phi_m^{-1} (B_{\phi_m (m), r})\)を取り、\((B_{m, r} \subseteq M, \phi_m \vert_{B_{m, r}})\)は\(r\)-オープンボール（開球）チャートであることを見る; ステップ4: \(m\)は任意のバウンダリーポイント（境界点）であると仮定し、\(m\)の周りの以下を満たす任意のチャート\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)、つまり、\(\phi_m (U_m) = \mathbb{H}^d\)、を取る; ステップ5: \(\phi_m (m)\)を中心とする\(r\)-半径オープンハーフボール（開半球）\(H_{\phi_m (m), r} \subseteq \mathbb{H}^d\)を取る; ステップ6: 当該オープンハーフボール（開半球）の当該チャートマップ（写像）下のプリイメージ（前像）\(H_{m, r} := \phi_m^{-1} (H_{\phi_m (m), r})\)を取り、\((H_{m, r} \subseteq M, \phi_m \vert_{H_{m, r}})\)は\(r\)-オープンハーフボール（開半球）チャートであることを見る。
ステップ1:
\(m\)は任意のインテリアポイント（内点）であると仮定しよう。
\(m\)の周りの以下を満たす任意のチャート\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)、つまり、\(\phi_m (U_m) = \mathbb{R}^d\)、を取ろう、それは可能である、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）に対して、任意のインテリア（内部）ポイントはレンジ（値域）がユークリディアンスペース（空間）全体であるあるチャートを持ち、任意のバウンダリー（境界）ポイントはレンジ（値域）がハーフ（半）ユークリディアンスペース（空間）全体であるあるチャートを持つという命題によって。
ステップ2:
\(\phi_m (m)\)を中心とする\(r\)-半径オープンボール（開球）\(B_{\phi_m (m), r} \subseteq \mathbb{R}^d\)がある、それは、勿論、\(\mathbb{R}^d\)上でオープン（開）である。
ステップ3:
プリイメージ（前像）\(B_{m, r} := \phi_m^{-1} (B_{\phi_m (m), r}) \subseteq U_m\)を取ろう。
\(B_{m, r}\)は\(m\)の\(U_m\)上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）である、なぜなら、\(\phi_m\)はホメオモーフィック（位相同形写像）である。\(B_{m, r}\)は\(m\)の\(M\)上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\((B_{m, r} \subseteq M, \phi_m \vert_{B_{m, r}})\)はチャートである、なぜなら、\(\phi_m \vert_{B_{m, r}}: B_{m, r} \to B_{\phi_m (m), r}\)は明らかにホメオモーフィズム（位相同形写像）であり、それは、より大きな\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)と\(C^\infty\)コンパチブル（互換）である。
\(\phi_m \vert_{B_{m, r}} (B_{m, r}) = B_{\phi_m (m), r}\)。
したがって、\((B_{m, r} \subseteq M, \phi_m \vert_{B_{m, r}})\)は\(r\)-オープンボール（開球）チャートである。
ステップ4:
\(m\)は任意のバウンダリーポイント（境界点）であると仮定しよう。
\(m\)の周りの以下を満たす任意のチャート\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)、つまり、\(\phi_m (U_m) = \mathbb{H}^d\)、を取ろう、それは可能である、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）に対して、任意のインテリア（内部）ポイントはレンジ（値域）がユークリディアンスペース（空間）全体であるあるチャートを持ち、任意のバウンダリー（境界）ポイントはレンジ（値域）がハーフ（半）ユークリディアンスペース（空間）全体であるあるチャートを持つという命題によって。\(\phi_m (p)\)は\(\mathbb{H}^d\)のバウンダリー（境界）上にある。
ステップ5:
\(\phi_m (m)\)を中心とした\(r\)-半径オープンハーフボール（開半球）\(H_{\phi_m (m), r} \subseteq \mathbb{H}^d\)がある、それは、勿論、\(\mathbb{H}^d\)上でオープン（開）である。
ステップ6:
プリイメージ（前像）\(H_{m, r} := \phi_m^{-1} (H_{\phi_m (m), r}) \subseteq U_m\)を取ろう。
\(H_{m, r}\)は\(m\)の\(U_m\)上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）である、なぜなら、\(\phi_m\)はホメオモーフィック（位相同形写像）である。\(H_{m, r}\)は\(m\)の\(M\)上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\((H_{m, r} \subseteq M, \phi_m \vert_{H_{m, r}})\)はチャートである、なぜなら、\(\phi_m \vert_{H_{m, r}}: H_{m, r} \to H_{\phi_m (m), r}\)は明らかにホメオモーフィズム（位相同形写像）であり、それは、より大きな\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)と\(C^\infty\)コンパチブル（互換）である。
\(\phi_m \vert_{H_{m, r}} (H_{m, r}) = H_{\phi_m (m), r}\)。
したがって、\((H_{m, r} \subseteq M, \phi_m \vert_{H_{m, r}})\)は\(r\)-オープンハーフボール（開半球）チャートである。
