704: バウンダリー（境界）付きC∞マニフォールド（多様体）に対して、インテリア（内部）ポイントはチャートボールを持ち、バウンダリー（境界）ポイントはチャートハーフボール（半球）を持つ

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バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）に対して、インテリア（内部）ポイントはチャートボールを持ち、バウンダリー（境界）ポイントはチャートハーフボール（半球）を持つことの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）上のポイントの周りのチャートボール（球）の定義を知っている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）上のポイントの周りのチャートハーフボール（半球）の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）に対して、各インテリア（内部）ポイントはあるチャートボールを持ち、各バウンダリー（境界）ポイントはあるチャートハーフボール（半球）を持つという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M$: $\in \{\text{ 全てのバウンダリー（境界）付き }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）たち }\}$
$p$: $\in M$
//

ステートメント（言明）たち:
(
$p\in \{M\text{ の全てのインテリア（内部）ポイントたち }\}$
$⟹$
$\mathrm{\exists }{B}_p\in \{p\text{ の周りの }M\text{ 上の全てのチャートボール（球）たち }\}$
)
$\wedge$
(
$p\in \{M\text{ の全てのバウンダリー（境界）ポイントたち }\}$
$⟹$
$\mathrm{\exists }{H}_p\in \{p\text{ の周りの }M\text{ 上の全てのチャートハーフボール（球）たち }\}$
)
//

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2: 自然言語記述

任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）$M$、任意の$p\in M$に対して、もしも、$p$は$M$の任意のインテリア（内部）ポイントである場合、$p$の周りにあるチャートボール（球）$B_p\subseteq M$があり、もしも、$p$は$M$の任意のバウンダリー（境界）ポイントである場合、$p$の周りにあるチャートハーフボール（半球）$H_p\subseteq M$がある。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $p$は任意のインテリア（内部）ポイントであると仮定し、$p$の周りに任意のチャート$(U_p\subseteq M,{\varphi }_p)$を取る; ステップ2: ${\varphi }_p(p)$の周りにあるオープンボール（開球）で、当該チャートレンジ（値域）内に包含されているものを取る; ステップ3: 当該オープンボール（開球）の当該チャートマップ（写像）下のプリイメージ（前像）を取り、それはチャートボール（球）であることを見る; ステップ4: $p$は任意のバウンダリー（境界）ポイントであると仮定し、$p$の周りの任意のチャート$(U_p\subseteq M,{\varphi }_p)$を取る; ステップ5: ${\varphi }_p(p)$の周りのあるオープンハーフボール（半球）で、チャートレンジ（値域）内に包含されているものを取る; ステップ6: 当該オープンハーフボール（開半球）の当該チャートマップ（写像）下のプリイメージ（前像）を取り、それはチャートハーフボール（半球）であることを見る。

ステップ1:

$p$は任意のインテリア（内部）ポイントであると仮定しよう。

$p$の周りの以下を満たす任意のチャート$(U_p\subseteq M,{\varphi }_p)$、つまり、レンジ（値域）${\varphi }_p(U_p)\subseteq {\mathbb{R}}^d$は${\mathbb{R}}^d$のオープンサブセット（開部分集合）である、を取ろう: あるチャートのレンジ（値域）は${\mathbb{H}}^d$のオープンサブセット（開部分集合）であるかもしれないが、$p$が任意のインテリア（内部）ポイントである時は、レンジ（値域）が${\mathbb{R}}^d$のオープンサブセット（開部分集合）であるチャートがある.

ステップ2:

${\varphi }_p(p)$の周りに以下を満たすあるオープンボール（開球）$B_{{\varphi }_p(p),ϵ}\subseteq {\mathbb{R}}^d$、つまり、$B_{{\varphi }_p(p),ϵ}\subseteq {\varphi }_p(U_p)$、がある、ユークリディアントポロジーの定義によって。$B_{{\varphi }_p(p),ϵ}$は${\varphi }_p(U_p)$上でオープン（開）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって。

ステップ3:

プリイメージ（前像）$B_p:={{\varphi }_p}^{-1}(B_{{\varphi }_p(p),ϵ})\subseteq U_p$を取ろう。$B_p$は$p$の$U_p$上のオープンネイバーフッド（開近傍）である、なぜなら、${\varphi }_p$はホメオモーフィック（位相同形写像）である。$B_p$は$p$の$M$上のオープンネイバーフッド（開近傍）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって。

$(B_p\subseteq M,{\varphi }_p{|}_{B_p})$はチャートである、なぜなら、${\varphi }_p{|}_{B_p}:B_p\to B_{{\varphi }_p(p),ϵ}$は明らかにホメオモーフィズム（位相同形写像）である。$B_{{\varphi }_p(p),ϵ}$はオープンボール（開球）である。したがって、$B_p$は$p$の周りのチャートボール（球）である。

ステップ4:

$p$は任意のバウンダリー（境界）ポイントであると仮定しよう。

$p$の周りの任意のチャート$(U_p\subseteq M,{\varphi }_p)$を取ろう。レンジ（値域）${\varphi }_p(U_p)\subseteq {\mathbb{H}}^d$は${\mathbb{H}}^d$のオープンサブセット（開部分集合）である、ここで、${\varphi }_p(p)$は${\mathbb{H}}^d$のバウンダリー（境界）上にある。

あるオープンサブセット（開部分集合）$U^{\prime }\in {\mathbb{R}}^d$に対して${\varphi }_p(U_p)=U^{\prime }\cap {\mathbb{H}}^d$、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって、${\mathbb{H}}^d$は${\mathbb{R}}^d$のサブスペース（部分空間）であるところ。${\varphi }_p(p)$の周りに以下を満たすあるオープンボール（開球）$B_{{\varphi }_p(p),ϵ}\subseteq {\mathbb{R}}^d$、つまり、$B_{{\varphi }_p(p),ϵ}\subseteq U^{\prime }$、がある、ユークリディアントポロジーおｎ定義によって。${\varphi }_p(p)$は${\mathbb{H}}^d$のバウンダリー（境界）上にあるので、$H_{{\varphi }_p(p),ϵ}:=B_{{\varphi }_p(p),ϵ}\cap {\mathbb{H}}^d$はオープンハーフボール（開半球）であり、$H_{{\varphi }_p(p),ϵ}\subseteq {\varphi }_p(U_p)$。$H_{{\varphi }_p(p),ϵ}$は${\varphi }_p(U_p)$上でオープン（開）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって。

ステップ6:

プリイメージ（前像$H_p:={\varphi }_p^{-1}(H_{{\varphi }_p(p),ϵ})$を取ろう、それは$U_p$上でオープン（開）である、なぜなら、${\varphi }_p$はホメオモーフィック（位相同形写像）である、そして、$M$上でオープン（開）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって。

$(H_p\subseteq M,{\varphi }_p{|}_{H_p})$はチャートである、なぜなら、${\varphi }_p{|}_{H_p}:H_p\to H_{{\varphi }_p(p),ϵ}$はホメオモーフィック（位相同形写像）である。$H_{{\varphi }_p(p),ϵ}$はオープンハーフボール（開半球）である。したがって、$H_p$は$p$の周りのチャートハーフボール（半球）である。

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参考資料

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