バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）に対して、インテリア（内部）ポイントはチャートボールを持ち、バウンダリー（境界）ポイントはチャートハーフボール（半球）を持つことの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上のポイントの周りのチャートボール（球）の定義を知っている。
- 読者は、バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上のポイントの周りのチャートハーフボール（半球）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）に対して、各インテリア（内部）ポイントはあるチャートボールを持ち、各バウンダリー（境界）ポイントはあるチャートハーフボール（半球）を持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのバウンダリー（境界）付き } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）たち }\}\)
\(p\): \(\in M\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(p \in \{M \text{ の全てのインテリア（内部）ポイントたち }\}\)
\(\implies\)
\(\exists B_p \in \{p \text{ の周りの } M \text{ 上の全てのチャートボール（球）たち } \}\)
)
\(\land\)
(
\(p \in \{M \text{ の全てのバウンダリー（境界）ポイントたち }\}\)
\(\implies\)
\(\exists H_p \in \{p \text{ の周りの } M \text{ 上の全てのチャートハーフボール（球）たち }\}\)
)
//
2: 自然言語記述
任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(M\)、任意の\(p \in M\)に対して、もしも、\(p\)は\(M\)の任意のインテリア（内部）ポイントである場合、\(p\)の周りにあるチャートボール（球）\(B_p \subseteq M\)があり、もしも、\(p\)は\(M\)の任意のバウンダリー（境界）ポイントである場合、\(p\)の周りにあるチャートハーフボール（半球）\(H_p \subseteq M\)がある。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(p\)は任意のインテリア（内部）ポイントであると仮定し、\(p\)の周りに任意のチャート\((U_p \subseteq M, \phi_p)\)を取る; ステップ2: \(\phi_p (p)\)の周りにあるオープンボール（開球）で、当該チャートレンジ（値域）内に包含されているものを取る; ステップ3: 当該オープンボール（開球）の当該チャートマップ（写像）下のプリイメージ（前像）を取り、それはチャートボール（球）であることを見る; ステップ4: \(p\)は任意のバウンダリー（境界）ポイントであると仮定し、\(p\)の周りの任意のチャート\((U_p \subseteq M, \phi_p)\)を取る; ステップ5: \(\phi_p (p)\)の周りのあるオープンハーフボール（半球）で、チャートレンジ（値域）内に包含されているものを取る; ステップ6: 当該オープンハーフボール（開半球）の当該チャートマップ（写像）下のプリイメージ（前像）を取り、それはチャートハーフボール（半球）であることを見る。
ステップ1:
\(p\)は任意のインテリア（内部）ポイントであると仮定しよう。
\(p\)の周りの以下を満たす任意のチャート\((U_p \subseteq M, \phi_p)\)、つまり、レンジ（値域）\(\phi_p (U_p) \subseteq \mathbb{R}^d\)は\(\mathbb{R}^d\)のオープンサブセット（開部分集合）である、を取ろう: あるチャートのレンジ（値域）は\(\mathbb{H}^d\)のオープンサブセット（開部分集合）であるかもしれないが、\(p\)が任意のインテリア（内部）ポイントである時は、レンジ（値域）が\(\mathbb{R}^d\)のオープンサブセット（開部分集合）であるチャートがある.
ステップ2:
\(\phi_p (p)\)の周りに以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{\phi_p (p), \epsilon} \subseteq \mathbb{R}^d\)、つまり、\(B_{\phi_p (p), \epsilon} \subseteq \phi_p (U_p)\)、がある、ユークリディアントポロジーの定義によって。\(B_{\phi_p (p), \epsilon}\)は\(\phi_p (U_p)\)上でオープン（開）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって。
ステップ3:
プリイメージ（前像）\(B_p := {\phi_p}^{-1} (B_{\phi_p (p), \epsilon}) \subseteq U_p\)を取ろう。\(B_p\)は\(p\)の\(U_p\)上のオープンネイバーフッド（開近傍）である、なぜなら、\(\phi_p\)はホメオモーフィック（位相同形写像）である。\(B_p\)は\(p\)の\(M\)上のオープンネイバーフッド（開近傍）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって。
\((B_p \subseteq M, \phi_p \vert_{B_p})\)はチャートである、なぜなら、\(\phi_p \vert_{B_p}: B_p \to B_{\phi_p (p), \epsilon}\)は明らかにホメオモーフィズム（位相同形写像）である。\(B_{\phi_p (p), \epsilon}\)はオープンボール（開球）である。したがって、\(B_p\)は\(p\)の周りのチャートボール（球）である。
ステップ4:
\(p\)は任意のバウンダリー（境界）ポイントであると仮定しよう。
\(p\)の周りの任意のチャート\((U_p \subseteq M, \phi_p)\)を取ろう。レンジ（値域）\(\phi_p (U_p) \subseteq \mathbb{H}^d\)は\(\mathbb{H}^d\)のオープンサブセット（開部分集合）である、ここで、\(\phi_p (p)\)は\(\mathbb{H}^d\)のバウンダリー（境界）上にある。
あるオープンサブセット（開部分集合）\(U' \in \mathbb{R}^d\)に対して\(\phi_p (U_p) = U' \cap \mathbb{H}^d\)、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって、\(\mathbb{H}^d\)は\(\mathbb{R}^d\)のサブスペース（部分空間）であるところ。\(\phi_p (p)\)の周りに以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{\phi_p (p), \epsilon} \subseteq \mathbb{R}^d\)、つまり、\(B_{\phi_p (p), \epsilon} \subseteq U'\)、がある、ユークリディアントポロジーおｎ定義によって。\(\phi_p (p)\)は\(\mathbb{H}^d\)のバウンダリー（境界）上にあるので、\(H_{\phi_p (p), \epsilon} := B_{\phi_p (p), \epsilon} \cap \mathbb{H}^d\)はオープンハーフボール（開半球）であり、\(H_{\phi_p (p), \epsilon} \subseteq \phi_p (U_p)\)。\(H_{\phi_p (p), \epsilon}\)は\(\phi_p (U_p)\)上でオープン（開）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって。
ステップ6:
プリイメージ（前像\(H_p := \phi_p^{-1} (H_{\phi_p (p), \epsilon})\)を取ろう、それは\(U_p\)上でオープン（開）である、なぜなら、\(\phi_p\)はホメオモーフィック（位相同形写像）である、そして、\(M\)上でオープン（開）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって。
\((H_p \subseteq M, \phi_p \vert_{H_p})\)はチャートである、なぜなら、\(\phi_p \vert_{H_p}: H_p \to H_{\phi_p (p), \epsilon}\)はホメオモーフィック（位相同形写像）である。\(H_{\phi_p (p), \epsilon}\)はオープンハーフボール（開半球）である。したがって、\(H_p\)は\(p\)の周りのチャートハーフボール（半球）である。
