\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイント周りの\(r\)-オープンハーフボール（開半球）チャートの定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイント周りの\(r\)-オープンハーフボール（開半球）チャートの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\( m\): \(\in M\)
\( r\): \(\in \{r' \in \mathbb{R} \vert 0 \lt r'\}\)
\(*(H_{m, r} \subseteq M, \phi_m)\): \(\in \{M \text{ 上の } m \text{ 周りの全てのチャートたち }\}\)
//
コンディションたち:
\(\phi_m (H_{m, r}) = H_{\phi_m (m), r} \subseteq \mathbb{H}^d\)、ここで、\(H_{\phi_m (m), r}\)は\(\phi_m (m)\)を中心とする半径\(r\)のオープンハーフボール（開半球）
//
2: 注
\(m\)がインテリアポイント（内点）である時は、\(m\)周りの\(r\)-オープンハーフボール（開半球）はない: \(\phi_m (H_{m, r}) = H_{\phi_m (m), r}\)は\(\phi_m (m)\)を中心とするよう要求されているが、\(\phi_m (m)\)は\(\mathbb{H}^d\)のあるインテリアポイント（内点）へマップされる、したがって、\(\phi_m (H_{m, r})\)は当該要求を満たさない、もしも、それはある\(r\)-オープンハーフボール（開半球）である（それは\(\phi_m (m)\)を中心としないであろう）としても。
\(m\)がバウンダリーポイント（境界点）である時は、常に、\(m\)周りのある\(r\)-オープンハーフボール（開半球）チャートがある、任意のポジティブ（正）\(r\)に対して、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、任意のポジティブ（正）\(r\)に対して、各インテリアポイント（内点）はある\(r\)-オープンボール（開球）チャートを持ち、各バウンダリーポイント（境界点）はある\(r\)-オープンハーフボール（開半球）チャートを持つという命題によって。
