693: d1ディメンショナル（次元）ユークリディアンC∞マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）に対して、d2ディメンショナル（次元）ユークリディアンC∞マニフォールド（多様体）の中へのC∞マップ（写像）を、1ディメンショナル（次元）ユークリディアンC∞マニフォールド（多様体）の中へのゼロにならないC∞マップ（写像）で割ったものは、C∞である

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$d_1$ディメンショナル（次元）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）に対して、$d_2$ディメンショナル（次元）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の中への$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）を、1ディメンショナル（次元）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の中へのゼロにならない$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）で割ったものは、$C^{\mathrm{\infty }}$であることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$なもの、ここで、$k$を$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、$d_1$ディメンショナル（次元）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の任意のオープンサブセット（開部分集合）に対して、$d_2$ディメンショナル（次元）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の中への任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）を、1ディメンショナル（次元）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の中への任意のゼロにならない$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）で割ったものは、$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
${\mathbb{R}}^{d_1}$: $=\text{ ユークリディアン }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体） }$
$U$: $\in \{{\mathbb{R}}^{d_1}\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}$
${\mathbb{R}}^{d_2}$: $=\text{ ユークリディアン }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体） }$
$\mathbb{R}$: $=\text{ ユークリディアン }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体） }$
$f_1$: $:U\to {\mathbb{R}}^{d_2}$, $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マップ（写像）たち }\}$
$f_2$: $:U\to \mathbb{R}$, $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マップ（写像）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\forall }p\in U(f_2(p)\ne 0)$
$⟹$
$f_1/f_2:U\to {\mathbb{R}}^{d_2}\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マップ（写像）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）${\mathbb{R}}^{d_1}$、任意のオープンサブセット（開部分集合）$U\subseteq {\mathbb{R}}^{d_1}$、ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）${\mathbb{R}}^{d_2}$、ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）$\mathbb{R}$、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）$f_1:U\to {\mathbb{R}}^{d_2}$、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）$f_2:U\to \mathbb{R}$に対して、もしも、$f_2$が$U$上でゼロにならない場合、$f_1/f_2:U\to {\mathbb{R}}^{d_2}$は$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）である。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: 命題: $f_1/f_2$は$C^1$であり、デリバティブ（導関数）は、ある$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）をゼロにならないある$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）で割ったものである、を証明する; ステップ2: インダクション（帰納法）にて、命題: $f_1/f_2$は$C^n$であり、$n$次デリバティブ（導関数）は、ある$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）をゼロにならないある$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（遮像）で割ったものである、を証明する; ステップ3: 本記事の命題を結論する。

ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）でポイントにおいて$C^k$なもの、ここで、$k$を$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、の定義に対する"注"内で記述されているとおり、当該定義内に挙げられている$U_p$は$U$であると取ることができる。したがって、これ以降私たちはそうする。

注意として、これ以降の$f^k$のような上付き文字たちは$(f_2{)}^2$を除き$k$番目コンポーネントたちであって、乗数たちではない。

ステップ1:

命題: $f_1/f_2$は$C^1$であり、デリバティブ（導関数）はある$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）をゼロにならないある$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）で割ったものである、を証明しよう。

$U$上で、${\partial }_j(f_1/f_2{)}^k={\partial }_j({f_1}^k/f_2)=(({\partial }_j{f_1}^k)f_2-{f_1}^k{\partial }_j{f}_2)/(f_2{)}^2$、それはコンティニュアス（連続）である、なぜなら、${\partial }_j{f_1}^k$、$f_2$、${f_1}^k$、${\partial }_j{f}_2$、$(f_2{)}^2$はコンティニュアス（連続）であり、$(f_2{)}^2$はゼロにならない。$({\partial }_j{f_1}^k)f_2-{f_1}^k{\partial }_j{f}_2$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、なぜなら、${\partial }_j{f_1}^k$、$f_2$、${f_1}^k$、${\partial }_j{f}_2$は$C^{\mathrm{\infty }}$である。$(f_2{)}^2$はゼロにならない$C^{\mathrm{\infty }}$である。

したがって、当該命題は証明された。

ステップ2:

インダクション（帰納法）にて、命題: $f_1/f_2$は$C^n$であり、$n$次デリバティブ（導関数）は、ある$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）をゼロにならないある$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（遮像）で割ったものである、を証明しよう。

$n=1$に対しては、ステップ1の命題がそれを証明した。

$n=n^{\prime }-1$まで当該命題を仮定し、$n=n^{\prime }$のことを考えよう。

$n^{\prime }-1$次デリバティブ（導関数）を$g_1/g_2$としよう。$g_1/g_2$はステップ1の命題の条件を満たしている、したがって、それは$C^1$であり、当該デリバティブ（導関数）は、ある$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）をゼロにならないある$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）で割ったものである。それが意味するのは、$f_1/f_2$は$C^{n^{\prime }}$で、$n^{\prime }$次デリバティブ（導関数）は、ある$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）をゼロにならないある$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）で割ったものである、ということ。

したがって、当該命題は証明された。

ステップ3:

ステップ2の命題は、即座に、本記事の命題を含意する。

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参考資料

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