\(d_1\)ディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）に対して、\(d_2\)ディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の中への\(C^\infty\)マップ（写像）を、1ディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の中へのゼロにならない\(C^\infty\)マップ（写像）で割ったものは、\(C^\infty\)であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(d_1\)ディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のオープンサブセット（開部分集合）に対して、\(d_2\)ディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の中への任意の\(C^\infty\)マップ（写像）を、1ディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の中への任意のゼロにならない\(C^\infty\)マップ（写像）で割ったものは、\(C^\infty\)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}^{d_1}\): \(= \text{ ユークリディアン } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体） }\)
\(U\): \(\in \{\mathbb{R}^{d_1} \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち } \}\)
\(\mathbb{R}^{d_2}\): \(= \text{ ユークリディアン } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体） }\)
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ ユークリディアン } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体） }\)
\(f_1\): \(: U \to \mathbb{R}^{d_2}\), \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\}\)
\(f_2\): \(: U \to \mathbb{R}\), \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall p \in U (f_2 (p) \neq 0)\)
\(\implies\)
\(f_1 / f_2: U \to \mathbb{R}^{d_2} \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(\mathbb{R}^{d_1}\)、任意のオープンサブセット（開部分集合）\(U \subseteq \mathbb{R}^{d_1}\)、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(\mathbb{R}^{d_2}\)、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(\mathbb{R}\)、任意の\(C^\infty\)マップ（写像）\(f_1: U \to \mathbb{R}^{d_2}\)、任意の\(C^\infty\)マップ（写像）\(f_2: U \to \mathbb{R}\)に対して、もしも、\(f_2\)が\(U\)上でゼロにならない場合、\(f_1 / f_2: U \to \mathbb{R}^{d_2}\)は\(C^\infty\)マップ（写像）である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 命題: \(f_1 / f_2\)は\(C^1\)であり、デリバティブ（導関数）は、ある\(C^\infty\)マップ（写像）をゼロにならないある\(C^\infty\)マップ（写像）で割ったものである、を証明する; ステップ2: インダクション（帰納法）にて、命題: \(f_1 / f_2\)は\(C^n\)であり、\(n\)次デリバティブ（導関数）は、ある\(C^\infty\)マップ（写像）をゼロにならないある\(C^\infty\)マップ（遮像）で割ったものである、を証明する; ステップ3: 本記事の命題を結論する。
ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)なもの、ここで、\(k\)を\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、の定義に対する"注"内で記述されているとおり、当該定義内に挙げられている\(U_p\)は\(U\)であると取ることができる。したがって、これ以降私たちはそうする。
注意として、これ以降の\(f^k\)のような上付き文字たちは\((f_2)^2\)を除き\(k\)番目コンポーネントたちであって、乗数たちではない。
ステップ1:
命題: \(f_1 / f_2\)は\(C^1\)であり、デリバティブ（導関数）はある\(C^\infty\)マップ（写像）をゼロにならないある\(C^\infty\)マップ（写像）で割ったものである、を証明しよう。
\(U\)上で、\(\partial_j (f_1 / f_2)^k = \partial_j ({f_1}^k / f_2) = ((\partial_j {f_1}^k) f_2 - {f_1}^k \partial_j f_2) / (f_2)^2\)、それはコンティニュアス（連続）である、なぜなら、\(\partial_j {f_1}^k\)、\(f_2\)、\({f_1}^k\)、\(\partial_j f_2\)、\((f_2)^2\)はコンティニュアス（連続）であり、\((f_2)^2\)はゼロにならない。\((\partial_j {f_1}^k) f_2 - {f_1}^k \partial_j f_2\)は\(C^\infty\)である、なぜなら、\(\partial_j {f_1}^k\)、\(f_2\)、\({f_1}^k\)、\(\partial_j f_2\)は\(C^\infty\)である。\((f_2)^2\)はゼロにならない\(C^\infty\)である。
したがって、当該命題は証明された。
ステップ2:
インダクション（帰納法）にて、命題: \(f_1 / f_2\)は\(C^n\)であり、\(n\)次デリバティブ（導関数）は、ある\(C^\infty\)マップ（写像）をゼロにならないある\(C^\infty\)マップ（遮像）で割ったものである、を証明しよう。
\(n = 1\)に対しては、ステップ1の命題がそれを証明した。
\(n = n' - 1\)まで当該命題を仮定し、\(n = n'\)のことを考えよう。
\(n' - 1\)次デリバティブ（導関数）を\(g_1 / g_2\)としよう。\(g_1 / g_2\)はステップ1の命題の条件を満たしている、したがって、それは\(C^1\)であり、当該デリバティブ（導関数）は、ある\(C^\infty\)マップ（写像）をゼロにならないある\(C^\infty\)マップ（写像）で割ったものである。それが意味するのは、\(f_1 / f_2\)は\(C^{n'}\)で、\(n'\)次デリバティブ（導関数）は、ある\(C^\infty\)マップ（写像）をゼロにならないある\(C^\infty\)マップ（写像）で割ったものである、ということ。
したがって、当該命題は証明された。
ステップ3:
ステップ2の命題は、即座に、本記事の命題を含意する。
