700: トポロジカルスペース（空間）に対して、エグゾースチョンファンクション（関数）下のナチュラルナンバー（自然数）たちクローズド（閉）上限インターバル（区間）たちのプリイメージ（前像）たちのシーケンス（列）は、スペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）たちによるエグゾースチョンである

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トポロジカルスペース（空間）に対して、エグゾースチョンファンクション（関数）下のナチュラルナンバー（自然数）たちクローズド（閉）上限インターバル（区間）たちのプリイメージ（前像）たちのシーケンス（列）は、スペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）たちによるエグゾースチョンであることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）上のエグゾースチョンファンクション（関数）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）たちによるエグゾースチョンの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のエグゾースチョンファンクション（関数）下のナチュラルナンバー（自然数）たちクローズド（閉）上限インターバル（区間）たちのプリイメージ（前像）たちのシーケンス（列）は、当該スペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）たちによるエグゾースチョンであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$\mathbb{R}$: $=\text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }$
$f$: $:T\to \mathbb{R}$, $\in \{T\text{ 上の全てのエグゾースチョンファンクション（関数）たち }\}$
$s$: $:\mathbb{N}\setminus \{0\}\to \{T\text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\},j\mapsto f^{-1}((-\mathrm{\infty },j])$
//

ステートメント（言明）たち:
$s\in \{T\text{ の全ての、コンパクトサブセット（部分集合）たちによるエグゾースチョンたち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$、当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間）$\mathbb{R}$、$T$上の任意のエグゾースチョンファンクション（関数）$f:T\to \mathbb{R}$に対して、シーケンス（列）$s:\mathbb{N}\setminus \{0\}\to \{T\text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\},j\mapsto f^{-1}((-\mathrm{\infty },j])$は、$T$のコンパクトサブセット（部分集合）たちによるエグゾースチョンである。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $T={\cup }_{j\in \mathbb{N}\setminus \{0\}}s(j)$であることを見る; ステップ2: $s(j)\subseteq {s(j+1)}^{\circ }$であることを見る。

ステップ1:

$T={\cup }_{j\in \mathbb{N}\setminus \{0\}}s(j)$であることを見よう。

各$p\in T$に対して、ある$n\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$に対して$f(p)\le n$。したがって、$p\in f^{-1}((-\mathrm{\infty },n])=s(n)$。したがって、$T={\cup }_{j\in \mathbb{N}\setminus \{0\}}s(j)$。

ステップ2:

$s(j)\subseteq {s(j+1)}^{\circ }$であることを見よう。

ステップ2戦略: ステップ2-1: 各$p\in s(j)$に対して、$p$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）で$s(j+1)$内に包含されているものがあることを示せば十分であることを見る; ステップ2-2: 当該主張を証明する。

明らかに、$s(j)\subseteq s(j+1)$。

ステップ2-1:

各$p\in s(j)$に対して、$p$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq T$で$U_p\subseteq s(j+1)$を満たすものがあることを示せば十分である、なぜなら、そうであれば、$s(j)\subseteq {\cup }_{p\in s(j)}{U}_p\subseteq s(j+1)$、その一方で、${\cup }_{p\in s(j)}{U}_p$は$s(j+1)$内に包含されるあるオープンサブセット（開部分集合）となる、それが意味するのは、${\cup }_{p\in s(j)}{U}_p\subseteq {s(j+1)}^{\circ }$。

ステップ2-2:

$U_p$を示そう。

$f(p)\in (-\mathrm{\infty },j]$。任意の$ϵ<1$およびオープンボール（開球）$B_{f(p),ϵ}=(f(p)-ϵ,f(p)+ϵ)\subseteq \mathbb{R}$を取ろう。$B_{f(p),ϵ}\subseteq (-\mathrm{\infty },j+1]$。$f$はコンティニュアス（連続）であるから、$p$の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq T$、つまり、$f(U_p)\subseteq B_{f(p),ϵ}$、がある。したがって、$f(U_p)\subseteq B_{f(p),ϵ}\subseteq (-\mathrm{\infty },j+1]$。それが意味するのは、$U_p\subseteq s(j+1)$。

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参考資料

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