689: インテジャー（整数）たちリング（環）はプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）である

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インテジャー（整数）たちリング（環）はプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）であることの記述/証明

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話題

About: リング（環）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、インテジャー（整数）たちリング（環）の定義を知っている。
• 読者は、プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、インテジャー（整数）たちリング（環）はプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$\mathbb{Z}$: $=\text{ インテジャー（整数）たちリング（環） }$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathbb{Z}\in \{\text{ 全てのプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

インテジャー（整数）たちリング（環）$\mathbb{Z}$はプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）である。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $\mathbb{Z}$はインテグラルドメイン（整域）である; ステップ2: $\mathbb{Z}$の各アイディアル（イデアル）はプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）であることを証明する。

ステップ1:

$\mathbb{Z}$は明らかに非ゼロコミュータティブ（可換）リング（環）である。

以下を満たす各$p_1,p_2\in \mathbb{Z}$、つまり、$p_1,p_2\ne 0$、に対して、$p_1{p}_2\ne 0$。

したがって、$\mathbb{Z}$はインテグラルドメイン（整域）である。

ステップ2:

$\mathbb{Z}$の各アイディアル（イデアル）はプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）であることを証明しよう。

ステップ2戦略: ステップ2-1: 任意のアイディアル（イデアル）を取る; ステップ 2-2: 当該アイディアル（イデアル）の最小ポジティブ（正）要素を取る; ステップ2-3: 当該要素によるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）は当該アイディアル（イデアル）内に包含されていることを示す; ステップ2-4: 当該アイディアル（イデアル）内に他の要素はないことを示す。

ステップ2-1:

$I\subseteq \mathbb{Z}$を任意のアイディアル（イデアル）とする。

ステップ2-2:

最小ポジティブ（正）要素$p\in I$がある、その理由は、ポジティブ（正）インテジャー（整数）たちセット（集合）はナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）のサブセット（部分集合）である一方、ナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）はウェルオーダード（整列）であること。

ステップ2-3:

$p\mathbb{Z}$はプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）である一方、$p\mathbb{Z}\subseteq I$、なぜなら、$p\mathbb{Z}\subseteq I\mathbb{Z}=I$。

ステップ2-4:

$p\mathbb{Z}=I$であることを見よう。

そうでないと仮定する。

任意の$p^{\prime }\in I\setminus p\mathbb{Z}$を取ろう。

以下を満たす$k\in \mathbb{Z}$および$0<j<p$、つまり、$p^{\prime }=pk+j$、があることになる。しかし、$j=p^{\prime }-pk\in I$、$p$が$I$の最小ポジティブ（正）要素であることに反する矛盾。

したがって、$p\mathbb{Z}=I$。

したがって、$I$はプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）である。

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参考資料

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