2024年8月18日日曜日

737: ベクトルたちスペース（空間）からの、サブスペース（部分空間）の中への、コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）についての、プロジェクション（射影）はリニア（線形）マップ（写像）であり、任意のサブスペース（部分空間）のイメージ（像）はサブスペース（部分空間）である

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ベクトルたちスペース（空間）からの、サブスペース（部分空間）の中への、コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）についての、プロジェクション（射影）はリニア（線形）マップ（写像）であり、任意のサブスペース（部分空間）のイメージ（像）はサブスペース（部分空間）であることの記述/証明

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）からの、任意のサブスペース（部分空間）の中への、任意のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）についての、プロジェクション（射影）はリニア（線形）マップ（写像）であり、任意のサブスペース（部分空間）の当該プロジェクション（射影）下のイメージ（像）はサブスペース（部分空間）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
F: ∈{ 全てのフィールド（体）たち }
V′: ∈{ 全ての F ベクトルたちスペース（空間）たち }
V: ∈{V′ の全てのベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }
V~: ∈{V の全てのコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）たち }
f: :V′→V, =V の中への V~ に関するプロジェクション（射影）マップ（写像） 
V″: ∈{V′ の全てのベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }
//

ステートメント（言明）たち:
f∈{ 全てのリニア（線形）マップ（写像）たち }
∧
f(V″)∈{V′ の全てのサブスペース（部分空間）たち }
//

2: 自然言語記述


任意のフィールド（体）F、任意のFベクトルたちスペース（空間）V′、V′の任意のベクトルたちサブスペース（部分空間）V、Vの任意のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）V~、Vの中へのV~に関するプロジェクション（射影）マップ（写像）f:V′→V、任意のベクトルたちサブスペース（部分空間）V″⊆V′に対して、fはリニア（線形）マップ（写像）であり、f(V″)はV′のベクトルたちサブスペース（部分空間）である。

3: 証明


全体戦略: ステップ1: 任意のv1′,v2′∈V′および任意のr1,r2∈Fを選び、f(r1v1′+r2v2′)=r1f(v1′)+r2f(v2′)であることを見る; ステップ2: 任意のv1,v2∈f(V″)を選択し、r1v1+r2v2∈f(V″)であることを見る。

ステップ1:

任意のv1′,v2′∈V′および任意のr1,r2∈Fに対して、f(r1v1′+r2v2′)=r1f(v1′)+r2f(v2′)？

vj′=vj+v~j、ここで、vj∈Vおよびv~j∈V~。r1v1′+r2v2′=r1(v1+v~1)+r2(v2+v~2)=r1v1+r2v2+r1v~1+r2v~2。

f(r1v1′+r2v2′)=r1v1+r2v2=r1f(v1′)+r2f(v2′)。

したがって、イエス。

ステップ2:

任意のv1,v2∈f(V″)に対して、r1v1+r2v2∈f(V″)？

以下を満たすあるvj″∈V″、つまり、vj=f(vj″)、がある。r1v1″+r2v2″∈V″。f(r1v1″+r2v2″)=r1f(v1″)+r2f(v2″)=r1v1+r2v2∈f(V″)。

したがって、イエス。

参考資料
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