ベクトルたちスペース（空間）からの、サブスペース（部分空間）の中への、コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）についての、プロジェクション（射影）はリニア（線形）マップ（写像）であり、任意のサブスペース（部分空間）のイメージ（像）はサブスペース（部分空間）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）からの、任意のサブスペース（部分空間）の中への、任意のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）についての、プロジェクション（射影）はリニア（線形）マップ（写像）であり、任意のサブスペース（部分空間）の当該プロジェクション（射影）下のイメージ（像）はサブスペース（部分空間）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V'\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{V' \text{ の全てのベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(\widetilde{V}\): \(\in \{V \text{ の全てのコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）たち }\}\)
\(f\): \(: V' \to V\), \(= V \text{ の中への } \widetilde{V} \text{ に関するプロジェクション（射影）マップ（写像） } \)
\(V''\): \(\in \{V' \text{ の全てのベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのリニア（線形）マップ（写像）たち }\}\)
\(\land\)
\(f (V'') \in \{V' \text{ の全てのサブスペース（部分空間）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F\)、任意の\(F\)ベクトルたちスペース（空間）\(V'\)、\(V'\)の任意のベクトルたちサブスペース（部分空間）\(V\)、\(V\)の任意のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）\(\widetilde{V}\)、\(V\)の中への\(\widetilde{V}\)に関するプロジェクション（射影）マップ（写像）\(f: V' \to V\)、任意のベクトルたちサブスペース（部分空間）\(V'' \subseteq V'\)に対して、\(f\)はリニア（線形）マップ（写像）であり、\(f (V'')\)は\(V'\)のベクトルたちサブスペース（部分空間）である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意の\(v'_1, v'_2 \in V'\)および任意の\(r_1, r_2 \in F\)を選び、\(f (r_1 v'_1 + r_2 v'_2) = r_1 f (v'_1) + r_2 f (v'_2)\)であることを見る; ステップ2: 任意の\(v_1, v_2 \in f (V'')\)を選択し、\(r_1 v_1 + r_2 v_2 \in f (V'')\)であることを見る。
ステップ1:
任意の\(v'_1, v'_2 \in V'\)および任意の\(r_1, r_2 \in F\)に対して、\(f (r_1 v'_1 + r_2 v'_2) = r_1 f (v'_1) + r_2 f (v'_2)\)？
\(v'_j = v_j + \widetilde{v}_j\)、ここで、\(v_j \in V\)および\(\widetilde{v}_j \in \widetilde{V}\)。\(r_1 v'_1 + r_2 v'_2 = r_1 (v_1 + \widetilde{v}_1) + r_2 (v_2 + \widetilde{v}_2) = r_1 v_1 + r_2 v_2 + r_1 \widetilde{v}_1 + r_2 \widetilde{v}_2\)。
\(f (r_1 v'_1 + r_2 v'_2) = r_1 v_1 + r_2 v_2 = r_1 f (v'_1) + r_2 f (v'_2)\)。
したがって、イエス。
ステップ2:
任意の\(v_1, v_2 \in f (V'')\)に対して、\(r_1 v_1 + r_2 v_2 \in f (V'')\)？
以下を満たすある\(v''_j \in V''\)、つまり、\(v_j = f (v''_j)\)、がある。\(r_1 v''_1 + r_2 v''_2 \in V''\)。\(f (r_1 v''_1 + r_2 v''_2) = r_1 f (v''_1) + r_2 f (v''_2) = r_1 v_1 + r_2 v_2 \in f (V'')\)。
したがって、イエス。
