736: ベクトルの、ベクトルたちサブスペース（部分空間）の中への、コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）についての、プロジェクション（射影）

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ベクトルの、ベクトルたちサブスペース（部分空間）の中への、コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）についての、プロジェクション（射影）の定義

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、ベクトルたちサブスペース（部分空間）のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、ベクトルの、ベクトルたちサブスペース（部分空間）の中への、コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）についての、プロジェクション（射影）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$V^{\prime }$: $\in \{\text{ 全ての }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$V$: $\in \{V^{\prime }\text{ の全てのベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }\}$
$\tilde{V}$: $\in \{V\text{ の全てのコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）たち }\}$
$v^{\prime }$: $=v+\tilde{v}$, $\in V^{\prime }$
$\ast v$:
//

コンディションたち:
$v\in V\wedge \tilde{v}\in \tilde{V}$
//

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2: 自然言語記述

任意のフィールド（体）$F$、任意の$F$ベクトルたちスペース（空間）$V^{\prime }$、$V^{\prime }$の任意のベクトルたちサブスペース（部分空間）$V$、$V$の任意のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）$\tilde{V}$、任意の要素$v^{\prime }=v+\tilde{v}\in V^{\prime }$、ここで、$v\in V$および$\tilde{v}\in \tilde{V}$、に対して、$v$

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3: 注

$V$および$\tilde{V}$が指定されたら、当該プロジェクション（射影）はユニークに決定される、ベクトルたちサブスペース（部分空間）のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）の定義に対する"注"に記述されているとおり。

プロジェクション（射影）について話すためには、あるコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）を指定する必要がある、なぜなら、プロジェクション（射影）はコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）の選択に依存する。

例えば、$V^{\prime }$はベーシス（基底）$(e_1,e_2)$のスパン（張る空間）であり、$V$はベーシス（基底）$(e_1)$のスパン（張る空間）である時、もしも、ベーシス（基底）$(e_2)$のスパン（張る空間）としての$\tilde{V}$がコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）である場合、$e_1+e_2$のプロジェクション（射影）は$e_1$である、しかし、もしも、ベーシス（基底）$(e_1+e_2)$のスパン（張る空間）$\tilde{V}$がコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）である場合、$e_1+e_2$のプロジェクション（射影）は$0$である。

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参考資料

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