ベクトルたちスペース（空間）、サブスペース（部分空間）、コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）に対して、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）でコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）にトリビアルにインターセクトする（交わる）ものは、サブスペース（部分空間）の中へ同一ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）としてプロジェクト（射影）されることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ベクトルの、ベクトルたちサブスペース（部分空間）の中への、コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）についての、プロジェクション（射影）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）からの、任意のサブスペース（部分空間）の中への、任意のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）についての、プロジェクション（射影）はリニア（線形）マップ（写像）であり、任意のサブスペース（部分空間）の当該プロジェクション（射影）下のイメージ（像）はサブスペース（部分空間）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）からの任意のリニア（線形）マップ（写像）に対して、あるドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）で、当該マップ（写像）レンジ（値域）へ、当該マップ（写像）の当該サブスペース（部分空間）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）によって'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるものがあるという命題を認めている。
- 読者は、以下を満たす2つのファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルスペース（空間）たち、つまり、それらの内の一方から他方へリニア（線形）バイジェクション（全単射）がある、は同一ディメンション（次元）のものであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）、任意のサブスペース（部分空間）、任意のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）に対して、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）で当該コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）にトリビアルにインターセクトする（交わる）ものは、当該サブスペース（部分空間）の中へ同一ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）としてプロジェクト（射影）されるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V'\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{V' \text{ の全てのサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(\widetilde{V}\): \(\in \{V \text{ の全てのコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）たち }\}\)
\(f\): \(V' \to V\), \(= V \text{ の中への } \widetilde{V} \text{ に関する } \text{ プロジェクション（射影） }\)
\(V''\): \(\in \{V' \text{ の全ての } d \text{ ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(V'' \cap \widetilde{V} = \{0\}\)
\(\implies\)
\(f (V'') \in \{V' \text{ 全ての } d \text{ ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F\)、任意の\(F\)ベクトルたちスペース（空間）\(V'\)、任意のサブスペース（部分空間）\(V \subseteq V'\)、任意のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）\(\widetilde{V} \subseteq V'\)、\(V\)の中への\(\widetilde{V}\)に関するプロジェクション（射影）\(f: V' \to V\)、以下を満たす任意のdディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）\(V'' \subseteq V'\)、つまり、\(V'' \cap \widetilde{V} = \{0\}\)、に対して、\(f (V'')\)は\(V'\)のdディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f (V'')\)は\(V'\)のサブスペース（部分空間）であることを見る; ステップ2: あるサブスペース（部分空間）\(V''' \subseteq V''\)で\(f (V'')\)へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるものを選ぶ; ステップ3: \(V'''\)のディメンション（次元）は\(d\)より小さかったと仮定し、矛盾を見つける; ステップ4: \(f (V'')\)のディメンション（次元）は\(d\)であることを見る。
ステップ1:
\(f (V'')\)は\(V'\)のサブスペース（部分空間）である、任意のベクトルたちスペース（空間）からの、任意のサブスペース（部分空間）の中への、任意のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）についての、プロジェクション（射影）はリニア（線形）マップ（写像）であり、任意のサブスペース（部分空間）の当該プロジェクション（射影）下のイメージ（像）はサブスペース（部分空間）であるという命題によって。
ステップ2:
あるサブスペース（空間）\(V''' \subseteq V''\)で\(f (V'')\)へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるものがある、\(f\)の\(V'''\)ドメイン（定義域）リストリクション（制限）\(f': V''' \to f (V'')\)によって、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）からの任意のリニア（線形）マップ（写像）に対して、あるドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）で、当該マップ（写像）レンジ（値域）へ、当該マップ（写像）の当該サブスペース（部分空間）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）によって'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるものがあるという命題によって。
ステップ3:
\(V'''\)のディメンション（次元）は\(l\)であると仮定する。\(f (V'')\)のディメンション（次元）も\(l\)である、以下を満たす2つのファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルスペース（空間）たち、つまり、それらの内の一方から他方へリニア（線形）バイジェクション（全単射）がある、は同一ディメンション（次元）のものであるという命題によって。
\(l \lt d\)であったと仮定しよう。
\(V'''\)に対するあるベーシス（基底）\(\{e_1, ..., e_l\}\)があることになる。ある要素\(v \in V''\)で当該ベーシス（基底）のリニアコンビネーション（線形結合）でないものがあることになる。\(\{f' (e_1), ..., f' (e_l)\}\)は\(f (V'')\)に対するあるベーシス（基底）であるということになる、なぜなら、\(f'\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であった。\(f (v) = c^1 f' (e_1) + ... + c^l f' (e_l)\)。\(v' = v - (c^1 e_1 + ... + c^l e_l)\)、非ゼロ、なぜなら、\(v\)は当該ベーシス（基底）のリニアコンビネーション（線形結合）でなかった、を定義しよう。\(f (v') = f (v - (c^1 e_1 + ... + c^l e_l)) = f (v) - (c^1 f (e_1) + ... + c^l f (e_l))\)、なぜなら、\(f\)はリニア（線形）であった、任意のベクトルたちスペース（空間）からの、任意のサブスペース（部分空間）の中への、任意のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）についての、プロジェクション（射影）はリニア（線形）マップ（写像）であり、任意のサブスペース（部分空間）の当該プロジェクション（射影）下のイメージ（像）はサブスペース（部分空間）であるという命題によって、\(= f (v) - (c^1 f' (e_によって、によって、 ... + c^l f' (e_l)) = 0\)。すると、ある非ゼロ\(v'' \in \widetilde{V}\)に対して\(v' = 0 + v'' = v''\)、それが含意するのは、\(V''\)は\(\widetilde{V}\)と非トリビアルにインターセクト（交わる）したということ、矛盾。
したがって、\(l = d\)。
ステップ4:
\(f (V'')\)のディメンション（次元）は\(l\)であるから、それは\(l = d\)である。
