738: ベクトルたちスペース（空間）、サブスペース（部分空間）、コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）に対して、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）でコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）にトリビアルにインターセクトする（交わる）ものは、サブスペース（部分空間）の中へ同一ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）としてプロジェクト（射影）される

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ベクトルたちスペース（空間）、サブスペース（部分空間）、コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）に対して、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）でコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）にトリビアルにインターセクトする（交わる）ものは、サブスペース（部分空間）の中へ同一ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）としてプロジェクト（射影）されることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ベクトルの、ベクトルたちサブスペース（部分空間）の中への、コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）についての、プロジェクション（射影）の定義を知っている。
• 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）からの、任意のサブスペース（部分空間）の中への、任意のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）についての、プロジェクション（射影）はリニア（線形）マップ（写像）であり、任意のサブスペース（部分空間）の当該プロジェクション（射影）下のイメージ（像）はサブスペース（部分空間）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）からの任意のリニア（線形）マップ（写像）に対して、あるドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）で、当該マップ（写像）レンジ（値域）へ、当該マップ（写像）の当該サブスペース（部分空間）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）によって'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるものがあるという命題を認めている。
• 読者は、以下を満たす2つのファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルスペース（空間）たち、つまり、それらの内の一方から他方へリニア（線形）バイジェクション（全単射）がある、は同一ディメンション（次元）のものであるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）、任意のサブスペース（部分空間）、任意のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）に対して、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）で当該コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）にトリビアルにインターセクトする（交わる）ものは、当該サブスペース（部分空間）の中へ同一ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）としてプロジェクト（射影）されるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$V^{\prime }$: $\in \{\text{ 全ての }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$V$: $\in \{V^{\prime }\text{ の全てのサブスペース（部分空間）たち }\}$
$\tilde{V}$: $\in \{V\text{ の全てのコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）たち }\}$
$f$: $V^{\prime }\to V$, $=V\text{ の中への }\tilde{V}\text{ に関する }\text{ プロジェクション（射影） }$
$V^{″}$: $\in \{V^{\prime }\text{ の全ての }d\text{ ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$V^{″}\cap \tilde{V}=\{0\}$
$⟹$
$f(V^{″})\in \{V^{\prime }\text{ 全ての }d\text{ ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意のフィールド（体）$F$、任意の$F$ベクトルたちスペース（空間）$V^{\prime }$、任意のサブスペース（部分空間）$V\subseteq V^{\prime }$、任意のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）$\tilde{V}\subseteq V^{\prime }$、$V$の中への$\tilde{V}$に関するプロジェクション（射影）$f:V^{\prime }\to V$、以下を満たす任意のdディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）$V^{″}\subseteq V^{\prime }$、つまり、$V^{″}\cap \tilde{V}=\{0\}$、に対して、$f(V^{″})$は$V^{\prime }$のdディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）である。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $f(V^{″})$は$V^{\prime }$のサブスペース（部分空間）であることを見る; ステップ2: あるサブスペース（部分空間）$V^{‴}\subseteq V^{″}$で$f(V^{″})$へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるものを選ぶ; ステップ3: $V^{‴}$のディメンション（次元）は$d$より小さかったと仮定し、矛盾を見つける; ステップ4: $f(V^{″})$のディメンション（次元）は$d$であることを見る。

ステップ1:

$f(V^{″})$は$V^{\prime }$のサブスペース（部分空間）である、任意のベクトルたちスペース（空間）からの、任意のサブスペース（部分空間）の中への、任意のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）についての、プロジェクション（射影）はリニア（線形）マップ（写像）であり、任意のサブスペース（部分空間）の当該プロジェクション（射影）下のイメージ（像）はサブスペース（部分空間）であるという命題によって。

ステップ2:

あるサブスペース（空間）$V^{‴}\subseteq V^{″}$で$f(V^{″})$へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるものがある、$f$の$V^{‴}$ドメイン（定義域）リストリクション（制限）$f^{\prime }:V^{‴}\to f(V^{″})$によって、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）からの任意のリニア（線形）マップ（写像）に対して、あるドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）で、当該マップ（写像）レンジ（値域）へ、当該マップ（写像）の当該サブスペース（部分空間）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）によって'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるものがあるという命題によって。

ステップ3:

$V^{‴}$のディメンション（次元）は$l$であると仮定する。$f(V^{″})$のディメンション（次元）も$l$である、以下を満たす2つのファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルスペース（空間）たち、つまり、それらの内の一方から他方へリニア（線形）バイジェクション（全単射）がある、は同一ディメンション（次元）のものであるという命題によって。

$l<d$であったと仮定しよう。

$V^{‴}$に対するあるベーシス（基底）$\{e_1,...,e_l\}$があることになる。ある要素$v\in V^{″}$で当該ベーシス（基底）のリニアコンビネーション（線形結合）でないものがあることになる。$\{f^{\prime }(e_1),...,f^{\prime }(e_l)\}$は$f(V^{″})$に対するあるベーシス（基底）であるということになる、なぜなら、$f^{\prime }$は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であった。$f(v)=c^1{f}^{\prime }(e_1)+...+c^l{f}^{\prime }(e_l)$。$v^{\prime }=v-(c^1{e}_1+...+c^l{e}_l)$、非ゼロ、なぜなら、$v$は当該ベーシス（基底）のリニアコンビネーション（線形結合）でなかった、を定義しよう。$f(v^{\prime })=f(v-(c^1{e}_1+...+c^l{e}_l))=f(v)-(c^{1}f(e_1)+...+c^{l}f(e_l))$、なぜなら、$f$はリニア（線形）であった、任意のベクトルたちスペース（空間）からの、任意のサブスペース（部分空間）の中への、任意のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）についての、プロジェクション（射影）はリニア（線形）マップ（写像）であり、任意のサブスペース（部分空間）の当該プロジェクション（射影）下のイメージ（像）はサブスペース（部分空間）であるという命題によって、$=f(v)-(c^1{f}^{\prime }(e_{\mathrm{に}}\mathrm{よ}\mathrm{っ}\mathrm{て}、\mathrm{に}\mathrm{よ}\mathrm{っ}\mathrm{て}、...+c^l{f}^{\prime }(e_l))=0$。すると、ある非ゼロ$v^{″}\in \tilde{V}$に対して$v^{\prime }=0+v^{″}=v^{″}$、それが含意するのは、$V^{″}$は$\tilde{V}$と非トリビアルにインターセクト（交わる）したということ、矛盾。

したがって、$l=d$。

ステップ4:

$f(V^{″})$のディメンション（次元）は$l$であるから、それは$l=d$である。

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参考資料

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