715: 命題1または命題2、もしも、もしも、非命題2である場合、命題1である、場合、そしてその場合に限って

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命題1または命題2、もしも、もしも、非命題2である場合、命題1である、場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

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話題

About: ロジック（論理）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明
• 4: 注

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開始コンテキスト

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の命題1または任意の命題2、もしも、もしも、非命題2である場合、命題1である、場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$p_1$: $\in \{\text{ 全ての命題たち }\}$
$p_2$: $\in \{\text{ 全ての命題たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$p_1\vee p_2$
$⟺$
$\mathrm{\neg }{p}_2⟹p_1$
//

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2: 自然言語記述

任意の命題たち$p_1$および$p_2$に対して、$p_1\vee p_2$、もしも、$\mathrm{\neg }{p}_2⟹p_1$である場合、そしてその場合に限って。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $p_1\vee p_2$が真であると仮定し、$\mathrm{\neg }{p}_2⟹p_1$が真であることを証明する; ステップ2: $\mathrm{\neg }{p}_2⟹p_1$が真であると仮定し、$p_1\vee p_2$が真であることを証明する。

ステップ1:

$p_1\vee p_2$が真であると仮定しよう。

もしも、$\mathrm{\neg }{p}_2$が真である場合、$p_2$は偽になる、したがって、$p_1$は真になる（なぜなら、$p_1\vee p_2$は真である）、したがって、$\mathrm{\neg }{p}_2⟹p_1$は真である。

ステップ2:

$\mathrm{\neg }{p}_2⟹p_1$は真であることを仮定しよう。

もしも、$p_2$は真である場合、$p_1\vee p_2$は真である。もしも、$p_2$は偽である場合、$\mathrm{\neg }{p}_2$は真である、そして、$p_1$は真である（なぜなら、$\mathrm{\neg }{p}_2⟹p_1$は真である）、したがって、$p_1\vee p_2$は真である。したがって、$p_1\vee p_2$は真である、いずれにせよ。

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4: 注

勿論、$\mathrm{\neg }{p}_1⟹p_2$も同値である、なぜなら、$p_1\vee p_2⟺p_2\vee p_1$であるから、また、$\mathrm{\neg }{p}_1⟹p_2$は$\mathrm{\neg }{p}_2⟹p_1$の対偶だからでもある。

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参考資料

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