命題1または命題2、もしも、もしも、非命題2である場合、命題1である、場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: ロジック（論理）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の命題1または任意の命題2、もしも、もしも、非命題2である場合、命題1である、場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(p_1\): \(\in \{\text{ 全ての命題たち }\}\)
\(p_2\): \(\in \{\text{ 全ての命題たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(p_1 \lor p_2\)
\(\iff\)
\(\lnot p_2 \implies p_1\)
//
2: 自然言語記述
任意の命題たち\(p_1\)および\(p_2\)に対して、\(p_1 \lor p_2\)、もしも、\(\lnot p_2 \implies p_1\)である場合、そしてその場合に限って。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(p_1 \lor p_2\)が真であると仮定し、\(\lnot p_2 \implies p_1\)が真であることを証明する; ステップ2: \(\lnot p_2 \implies p_1\)が真であると仮定し、\(p_1 \lor p_2\)が真であることを証明する。
ステップ1:
\(p_1 \lor p_2\)が真であると仮定しよう。
もしも、\(\lnot p_2\)が真である場合、\(p_2\)は偽になる、したがって、\(p_1\)は真になる（なぜなら、\(p_1 \lor p_2\)は真である）、したがって、\(\lnot p_2 \implies p_1\)は真である。
ステップ2:
\(\lnot p_2 \implies p_1\)は真であることを仮定しよう。
もしも、\(p_2\)は真である場合、\(p_1 \lor p_2\)は真である。もしも、\(p_2\)は偽である場合、\(\lnot p_2\)は真である、そして、\(p_1\)は真である（なぜなら、\(\lnot p_2 \implies p_1\)は真である）、したがって、\(p_1 \lor p_2\)は真である。したがって、\(p_1 \lor p_2\)は真である、いずれにせよ。
4: 注
勿論、\(\lnot p_1 \implies p_2\)も同値である、なぜなら、\(p_1 \lor p_2 \iff p_2 \lor p_1\)であるから、また、\(\lnot p_1 \implies p_2\)は\(\lnot p_2 \implies p_1\)の対偶だからでもある。
