グループ（群）、ノーマルサブグループ（正規部分群）、サブグループ（部分群）に対して、クウォシェント（商）グループ（群）のサブセット（部分集合）たちでサブグループ（部分群）のコセット（剰余類）たちを包含するものたちは同じであるかディスジョイント（互いに素）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）、任意のノーマルサブグループ（正規部分群）、任意のサブグループ（部分群）に対して、クウォシェント（商）グループ（群）のサブセット（部分集合）たちで当該サブグループ（部分群）の任意の2つのコセット（剰余類）たちを包含するものたちは同じであるかディスジョイント（互いに素）であり、そうした全てのサブセット（部分集合）たちはバイジェクティブ（全単射）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G''\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(G\): \(\in \{G'' \text{ の全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち }\}\)
\(G'\): \(\in \{G'' \text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}\)
\(G'' / G\): \(= \text{ 当該クウォシェント（商）グループ（群） }\), \(= \{g''_\gamma G \vert \gamma \in C\}\)
\(g''_\alpha G'\): \(= \text{ 当該レフトコセット（左剰余類） }\), \(\alpha \in A\)
\(g''_\beta G'\): \(= \text{ 当該レフトコセット（左剰余類） }\), \(\beta \in A\)
\(S_\alpha\): \(= \{g''_\gamma G \in G'' / G \vert g''_\gamma G \cap g''_\alpha G' \neq \emptyset\}\)
\(S_\beta\): \(= \{g''_\gamma G \in G'' / G \vert g''_\gamma G \cap g''_\beta G' \neq \emptyset\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S_\alpha = S_\beta \lor S_\alpha \cap S_\beta = \emptyset\)
\(\land\)
\(S_\alpha \cong S_\beta\)、ここで、\(\cong\)は、'セット（集合）たち - マップ（写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）: バイジェクティブ（全単射）であることを表わす。
//
2: 自然言語記述
任意のグループ（群）\(G''\)、\(G''\)の任意のノーマルサブグループ（正規部分群）\(G\)、\(G''\)の任意のサブグループ（部分群）\(G'\)に対して、クウォシェント（商）グループ（群）\(G'' / G = \{g''_\gamma G \vert \gamma \in C\}\)、レフトコセット（左剰余類）たち\(g''_\alpha G'\)、ここで、\(\alpha \in A\)、および\(g''_\beta G'\)、ここで、\(\beta \in A\)、\(G'' / G\)のサブセット（部分集合）たち\(S_\alpha := \{g''_\gamma G \in G'' / G \vert g''_\gamma G \cap g''_\alpha G' \neq \emptyset\}\)および\(S_\beta := \{g''_\gamma G \in G'' / G \vert g''_\gamma G \cap g''_\beta G' \neq \emptyset\}\)に対して、\(S_\alpha = S_\beta\)または\(S_\alpha \cap S_\beta = \emptyset\)。さらには、\(S_\alpha \cong S_\beta\)、ここで、\(\cong\)は、'セット（集合）たち - マップ（写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）: バイジェクティブ（全単射）であることを表わす。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(S_1 := \{g'_\gamma G \in G'' / G \vert g'_\gamma G \cap 1 G' \neq \emptyset\}\)を、\(g'_\gamma \in G'\)として取る; ステップ2: \(S_\alpha = g''_\alpha S_1\)および\(S_\beta = g''_\beta S_1\)であることを見る; ステップ3: もしも、\(S_\alpha \cap S_\beta \neq \emptyset\)である場合、\(S_\alpha = S_\beta\)であることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
レフトコセット（左剰余類）\(1 G'\)に対して、対応する\(S_1 := \{g''_\gamma G \in G'' / G \vert g''_\gamma G \cap 1 G' \neq \emptyset\}\)を取ろう。
そうした\(\gamma\)たちのセット（集合）を\(C' \subseteq C\)と表わそう。
\(G'\)のある要素\(g'_\gamma\)が\(g''_\gamma G\)内に包含されているので、\(g''_\gamma\)を\(g'_\gamma\)であるように取ることができる。したがって、私たちは、各\(\gamma \in C'\)に対して、\(g'_\gamma \in G'\)で、\(S_1 = \{g'_\gamma G \vert \gamma \in C'\}\)であると仮定する。
ステップ2:
\(S_\alpha = g''_\alpha S_1 = \{g''_\alpha g'_\gamma G \vert \gamma \in C'\}\)であることを見よう。
\(G' \subseteq \cup S_1\)であるので、\(g''_\alpha G' \subseteq g''_\alpha \cup S_1 = g''_\alpha \cup_{\gamma \in C'} g'_\gamma G = \cup_{\gamma \in c'} g''_\alpha g'_\gamma G = \cup_{\gamma \in c'} g''_\alpha S_1\)。
各\(g''_\alpha g'_\gamma G\)に対して、\(g''_\alpha g'_\gamma G \cap g''_\alpha G' \neq \emptyset\)であることを見よう。\(g''_\alpha g'_\gamma 1 = g''_\alpha g'_\gamma \in g''_\alpha g'_\gamma G \cap g''_\alpha G'\)。
それが意味するのは、\(S_\alpha = g''_\alpha S_1\)であること。
\(g''_\alpha S_1\)の要素たちは互いに異なる、なぜなら、もしも、\(g''_\alpha g'_\gamma G = g''_\alpha g'_{\gamma'} G\)である場合、\(g''_\alpha g'_\gamma = g''_\alpha g'_{\gamma'} g\)、ある\(g \in G\)に対して、したがって、\(g'_\gamma = g'_{\gamma'} g\)、それが意味するのは、\(g'_\gamma \in g'_{\gamma'} G\)、それが意味するのは、\(\gamma = \gamma'\)。
同様に、\(S_\beta = g''_\beta S_1\)。
それが含意するのは、\(S_\alpha \cong S_1 \cong S_\beta\)。
ステップ3: もしも、\(S_\alpha \cap S_\beta \neq \emptyset\)である場合、\(S_\alpha = S_\beta\)である、ことを見よう。
\(S_\alpha = \{g''_\alpha g'_\gamma G \vert \gamma \in C'\}\)および\(S_\beta = \{g''_\beta g'_\gamma G \vert \gamma \in C'\}\)。
\(S_\alpha \cap S_\beta \neq \emptyset\)であると仮定しよう。
\(g''_\alpha g'_\gamma G = g''_\beta g'_{\gamma'} G = G g''_\beta g'_{\gamma'}\)（なぜなら、\(G\)はノーマルサブグループ（正規部分群）である: 各\(g'' \in G''\)に対して、\(g''^{-1} G g'' = G\)、したがって、\(G g'' = g'' G\))、それが意味するのは、\(g''_\alpha g'_\gamma = g g''_\beta g'_{\gamma'}\)、ある\(g \in G\)に対して、したがって、\(g''_\alpha = g g''_\beta g'_{\gamma'} {g'_\gamma}^{-1}\)。したがって、\(g''_\alpha g'_{\gamma''} G = G g''_\alpha g'_{\gamma''} = G g g''_\beta g'_{\gamma'} {g'_\gamma}^{-1} g'_{\gamma''} = G g''_\beta g'_{\gamma'} {g'_\gamma}^{-1} g'_{\gamma''} = g''_\beta g'_{\gamma'} {g'_\gamma}^{-1} g'_{\gamma''} G\)、しかし、\(g'_{\gamma'} {g'_\gamma}^{-1} g'_{\gamma''} \in G'\)、それが意味するのは、\(g'_{\gamma'} {g'_\gamma}^{-1} g'_{\gamma''} G = g'_{\gamma'''} G\)、ある\(\gamma''' \in C'\)に対して。したがって、\(g''_\alpha g'_{\gamma''} G = g''_\beta g'_{\gamma'''} G\)、それが意味するのは、\(g''_\alpha g'_{\gamma''} G \in S_\beta\)、したがって、\(S_\alpha \subseteq S_\beta\)。
シンメトリー（対称性）によって、\(S_\beta \subseteq S_\alpha\)、したがって、\(S_\alpha = S_\beta\)。
ステップ4:
任意の命題1または任意の命題2、もしも、もしも、非命題2である場合、命題1である、場合、そしてその場合に限って、という命題によって、\(S_\alpha = S_\beta\)または\(S_\alpha \cap S_\beta = \emptyset\)。
4: 注
コロラリー（系）として、\(G'' / G\)のオーダーがファイナイト（有限）である時、\(S_\alpha\)のオーダーは\(G'' / G\)のオーダーを割る: \(\vert S_\alpha \vert \vert \vert \vert G'' / G \vert\)。その理由は、そうでなければ、\(G'\)のコセット（剰余類）たちは\(G''\)をカバーしないことになる: 例えば、\(G'' / G = \{1 G, g'_2 , g'_3 G, g''_4 G, g''_5 G\}\)および\(S_1 = \{1 G, g'_2 G, g'_3 G\}\)である時は、\(g''_4 G, g''_5 G\)はカバーされ得ないことになる、なぜなら、\(S_\alpha = \{1 G, g'_4 G, g'_5 G\}\)のようなことは起こり得ない、なぜなら、\(S_1 \cap S_\alpha \neq \emptyset\)になる。
