716: グループ（群）、ノーマルサブグループ（正規部分群）、サブグループ（部分群）に対して、クウォシェント（商）グループ（群）のサブセット（部分集合）たちでサブグループ（部分群）のコセット（剰余類）たちを包含するものたちは同じであるかディスジョイント（互いに素）である

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

グループ（群）、ノーマルサブグループ（正規部分群）、サブグループ（部分群）に対して、クウォシェント（商）グループ（群）のサブセット（部分集合）たちでサブグループ（部分群）のコセット（剰余類）たちを包含するものたちは同じであるかディスジョイント（互いに素）であることの記述/証明

---

話題

About: グループ（群）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明
• 4: 注

---

開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）によるクウォシェント（商）グループ（群）の定義を知っている。
• 読者は、グループ（群）の要素によるサブグループ（部分群）の左または右コセット（剰余類）の定義を知っている。
• 読者は、任意の命題1または任意の命題2、もしも、もしも、非命題2である場合、命題1である、場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のグループ（群）、任意のノーマルサブグループ（正規部分群）、任意のサブグループ（部分群）に対して、クウォシェント（商）グループ（群）のサブセット（部分集合）たちで当該サブグループ（部分群）の任意の2つのコセット（剰余類）たちを包含するものたちは同じであるかディスジョイント（互いに素）であり、そうした全てのサブセット（部分集合）たちはバイジェクティブ（全単射）であるという命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

---

本体

---

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G^{″}$: $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$
$G$: $\in \{G^{″}\text{ の全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち }\}$
$G^{\prime }$: $\in \{G^{″}\text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}$
$G^{″}/G$: $=\text{ 当該クウォシェント（商）グループ（群） }$, $=\{g_{\gamma }^{″}G|\gamma \in C\}$
$g_{\alpha }^{″}{G}^{\prime }$: $=\text{ 当該レフトコセット（左剰余類） }$, $\alpha \in A$
$g_{\beta }^{″}{G}^{\prime }$: $=\text{ 当該レフトコセット（左剰余類） }$, $\beta \in A$
$S_{\alpha }$: $=\{g_{\gamma }^{″}G\in G^{″}/G|g_{\gamma }^{″}G\cap g_{\alpha }^{″}{G}^{\prime }\ne \mathrm{\varnothing }\}$
$S_{\beta }$: $=\{g_{\gamma }^{″}G\in G^{″}/G|g_{\gamma }^{″}G\cap g_{\beta }^{″}{G}^{\prime }\ne \mathrm{\varnothing }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$S_{\alpha }=S_{\beta }\vee S_{\alpha }\cap S_{\beta }=\mathrm{\varnothing }$
$\wedge$
$S_{\alpha }\cong S_{\beta }$、ここで、$\cong$は、'セット（集合）たち - マップ（写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）: バイジェクティブ（全単射）であることを表わす。
//

---

2: 自然言語記述

任意のグループ（群）$G^{″}$、$G^{″}$の任意のノーマルサブグループ（正規部分群）$G$、$G^{″}$の任意のサブグループ（部分群）$G^{\prime }$に対して、クウォシェント（商）グループ（群）$G^{″}/G=\{g_{\gamma }^{″}G|\gamma \in C\}$、レフトコセット（左剰余類）たち$g_{\alpha }^{″}{G}^{\prime }$、ここで、$\alpha \in A$、および$g_{\beta }^{″}{G}^{\prime }$、ここで、$\beta \in A$、$G^{″}/G$のサブセット（部分集合）たち$S_{\alpha }:=\{g_{\gamma }^{″}G\in G^{″}/G|g_{\gamma }^{″}G\cap g_{\alpha }^{″}{G}^{\prime }\ne \mathrm{\varnothing }\}$および$S_{\beta }:=\{g_{\gamma }^{″}G\in G^{″}/G|g_{\gamma }^{″}G\cap g_{\beta }^{″}{G}^{\prime }\ne \mathrm{\varnothing }\}$に対して、$S_{\alpha }=S_{\beta }$または$S_{\alpha }\cap S_{\beta }=\mathrm{\varnothing }$。さらには、$S_{\alpha }\cong S_{\beta }$、ここで、$\cong$は、'セット（集合）たち - マップ（写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）: バイジェクティブ（全単射）であることを表わす。

---

3: 証明

全体戦略: ステップ1: $S_1:=\{g_{\gamma }^{\prime }G\in G^{″}/G|g_{\gamma }^{\prime }G\cap 1G^{\prime }\ne \mathrm{\varnothing }\}$を、$g_{\gamma }^{\prime }\in G^{\prime }$として取る; ステップ2: $S_{\alpha }=g_{\alpha }^{″}{S}_1$および$S_{\beta }=g_{\beta }^{″}{S}_1$であることを見る; ステップ3: もしも、$S_{\alpha }\cap S_{\beta }\ne \mathrm{\varnothing }$である場合、$S_{\alpha }=S_{\beta }$であることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。

ステップ1:

レフトコセット（左剰余類）$1G^{\prime }$に対して、対応する$S_1:=\{g_{\gamma }^{″}G\in G^{″}/G|g_{\gamma }^{″}G\cap 1G^{\prime }\ne \mathrm{\varnothing }\}$を取ろう。

そうした$\gamma$たちのセット（集合）を$C^{\prime }\subseteq C$と表わそう。

$G^{\prime }$のある要素$g_{\gamma }^{\prime }$が$g_{\gamma }^{″}G$内に包含されているので、$g_{\gamma }^{″}$を$g_{\gamma }^{\prime }$であるように取ることができる。したがって、私たちは、各$\gamma \in C^{\prime }$に対して、$g_{\gamma }^{\prime }\in G^{\prime }$で、$S_1=\{g_{\gamma }^{\prime }G|\gamma \in C^{\prime }\}$であると仮定する。

ステップ2:

$S_{\alpha }=g_{\alpha }^{″}{S}_1=\{g_{\alpha }^{″}{g}_{\gamma }^{\prime }G|\gamma \in C^{\prime }\}$であることを見よう。

$G^{\prime }\subseteq \cup S_1$であるので、$g_{\alpha }^{″}{G}^{\prime }\subseteq g_{\alpha }^{″}\cup S_1=g_{\alpha }^{″}{\cup }_{\gamma \in C^{\prime }}{g}_{\gamma }^{\prime }G={\cup }_{\gamma \in c^{\prime }}{g}_{\alpha }^{″}{g}_{\gamma }^{\prime }G={\cup }_{\gamma \in c^{\prime }}{g}_{\alpha }^{″}{S}_1$。

各$g_{\alpha }^{″}{g}_{\gamma }^{\prime }G$に対して、$g_{\alpha }^{″}{g}_{\gamma }^{\prime }G\cap g_{\alpha }^{″}{G}^{\prime }\ne \mathrm{\varnothing }$であることを見よう。$g_{\alpha }^{″}{g}_{\gamma }^{\prime }1=g_{\alpha }^{″}{g}_{\gamma }^{\prime }\in g_{\alpha }^{″}{g}_{\gamma }^{\prime }G\cap g_{\alpha }^{″}{G}^{\prime }$。

それが意味するのは、$S_{\alpha }=g_{\alpha }^{″}{S}_1$であること。

$g_{\alpha }^{″}{S}_1$の要素たちは互いに異なる、なぜなら、もしも、$g_{\alpha }^{″}{g}_{\gamma }^{\prime }G=g_{\alpha }^{″}{g}_{{\gamma }^{\prime }}^{\prime }G$である場合、$g_{\alpha }^{″}{g}_{\gamma }^{\prime }=g_{\alpha }^{″}{g}_{{\gamma }^{\prime }}^{\prime }g$、ある$g\in G$に対して、したがって、$g_{\gamma }^{\prime }=g_{{\gamma }^{\prime }}^{\prime }g$、それが意味するのは、$g_{\gamma }^{\prime }\in g_{{\gamma }^{\prime }}^{\prime }G$、それが意味するのは、$\gamma ={\gamma }^{\prime }$。

同様に、$S_{\beta }=g_{\beta }^{″}{S}_1$。

それが含意するのは、$S_{\alpha }\cong S_1\cong S_{\beta }$。

ステップ3: もしも、$S_{\alpha }\cap S_{\beta }\ne \mathrm{\varnothing }$である場合、$S_{\alpha }=S_{\beta }$である、ことを見よう。

$S_{\alpha }=\{g_{\alpha }^{″}{g}_{\gamma }^{\prime }G|\gamma \in C^{\prime }\}$および$S_{\beta }=\{g_{\beta }^{″}{g}_{\gamma }^{\prime }G|\gamma \in C^{\prime }\}$。

$S_{\alpha }\cap S_{\beta }\ne \mathrm{\varnothing }$であると仮定しよう。

$g_{\alpha }^{″}{g}_{\gamma }^{\prime }G=g_{\beta }^{″}{g}_{{\gamma }^{\prime }}^{\prime }G=G{g}_{\beta }^{″}{g}_{{\gamma }^{\prime }}^{\prime }$（なぜなら、$G$はノーマルサブグループ（正規部分群）である: 各$g^{″}\in G^{″}$に対して、$g^{″-1}G{g}^{″}=G$、したがって、$G{g}^{″}=g^{″}G$)、それが意味するのは、$g_{\alpha }^{″}{g}_{\gamma }^{\prime }=g{g}_{\beta }^{″}{g}_{{\gamma }^{\prime }}^{\prime }$、ある$g\in G$に対して、したがって、$g_{\alpha }^{″}=g{g}_{\beta }^{″}{g}_{{\gamma }^{\prime }}^{\prime }{g_{\gamma }^{\prime }}^{-1}$。したがって、$g_{\alpha }^{″}{g}_{{\gamma }^{″}}^{\prime }G=G{g}_{\alpha }^{″}{g}_{{\gamma }^{″}}^{\prime }=Gg{g}_{\beta }^{″}{g}_{{\gamma }^{\prime }}^{\prime }{g_{\gamma }^{\prime }}^{-1}{g}_{{\gamma }^{″}}^{\prime }=G{g}_{\beta }^{″}{g}_{{\gamma }^{\prime }}^{\prime }{g_{\gamma }^{\prime }}^{-1}{g}_{{\gamma }^{″}}^{\prime }=g_{\beta }^{″}{g}_{{\gamma }^{\prime }}^{\prime }{g_{\gamma }^{\prime }}^{-1}{g}_{{\gamma }^{″}}^{\prime }G$、しかし、$g_{{\gamma }^{\prime }}^{\prime }{g_{\gamma }^{\prime }}^{-1}{g}_{{\gamma }^{″}}^{\prime }\in G^{\prime }$、それが意味するのは、$g_{{\gamma }^{\prime }}^{\prime }{g_{\gamma }^{\prime }}^{-1}{g}_{{\gamma }^{″}}^{\prime }G=g_{{\gamma }^{‴}}^{\prime }G$、ある${\gamma }^{‴}\in C^{\prime }$に対して。したがって、$g_{\alpha }^{″}{g}_{{\gamma }^{″}}^{\prime }G=g_{\beta }^{″}{g}_{{\gamma }^{‴}}^{\prime }G$、それが意味するのは、$g_{\alpha }^{″}{g}_{{\gamma }^{″}}^{\prime }G\in S_{\beta }$、したがって、$S_{\alpha }\subseteq S_{\beta }$。

シンメトリー（対称性）によって、$S_{\beta }\subseteq S_{\alpha }$、したがって、$S_{\alpha }=S_{\beta }$。

ステップ4:

任意の命題1または任意の命題2、もしも、もしも、非命題2である場合、命題1である、場合、そしてその場合に限って、という命題によって、$S_{\alpha }=S_{\beta }$または$S_{\alpha }\cap S_{\beta }=\mathrm{\varnothing }$。

---

4: 注

コロラリー（系）として、$G^{″}/G$のオーダーがファイナイト（有限）である時、$S_{\alpha }$のオーダーは$G^{″}/G$のオーダーを割る: $|S_{\alpha }||||G^{″}/G|$。その理由は、そうでなければ、$G^{\prime }$のコセット（剰余類）たちは$G^{″}$をカバーしないことになる: 例えば、$G^{″}/G=\{1G,g_2^{\prime },g_3^{\prime }G,g_4^{″}G,g_5^{″}G\}$および$S_1=\{1G,g_2^{\prime }G,g_3^{\prime }G\}$である時は、$g_4^{″}G,g_5^{″}G$はカバーされ得ないことになる、なぜなら、$S_{\alpha }=\{1G,g_4^{\prime }G,g_5^{\prime }G\}$のようなことは起こり得ない、なぜなら、$S_1\cap S_{\alpha }\ne \mathrm{\varnothing }$になる。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>