nシンメトリックグループ（対称群）およびnサイクル（巡回置換）に対して、シンメトリックグループ（対称群）上のサイクル（巡回置換）のセントラライザー（中心化群）はサイクル（巡回置換）によるシクリックグループ（循環群）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、nシンメトリックグループ（対称群）の定義を知っている。
- 読者は、nシンメトリックグループ（対称群）上のmサイクル（巡回置換）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）上の要素のセントラライザー（中心化群）の定義を知っている。
- 読者は、要素によるシクリックグループ（循環群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のnシンメトリックグループ（対称群）および任意のnサイクル（巡回置換）に対して、当該シンメトリックグループ（対称群）上の当該サイクル（巡回置換）のセントラライザー（中心化群）は当該サイクル（巡回置換）によるシクリックグループ（循環群）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S_n\): \(= n \text{ シンメトリックグループ（対称群） }\)
\(p\): \(= (\sigma_1, ..., \sigma_n)\), \(\in \{S_n \text{ 上の全ての } n \text{ サイクル（巡回置換）たち }\}\)
\(C_G (p)\): \(= G \text{ 上の } p \text{ のセントラライザー（中心化群） }\)
\(\langle p \rangle\): \(= p \text{ によるシクリックグループ（循環群） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(C_G (p) = \langle p \rangle\)
//
2: 自然言語記述
\(n\)シンメトリックグループ（対称群）\(S_n\)、\(S_n\)上の任意の\(n\)サイクル（巡回置換）\(p = (\sigma_1, ..., \sigma_n)\)、\(G\)上の\(p\)のセントラライザー（中心化群）\(C_G (p)\)、\(p\)によるシクリックグループ（循環群）\(\langle p \rangle\)に対して、\(C_G (p) = \langle p \rangle\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(C_G (p)\)の各要素に対して、当該要素は、アイデンティティ（単位）要素であるか、\(\{1, ..., n\}\)のどの要素も保持しないかであることを見る; \(\{1, ..., n\}\)のどの要素も保持しない要素は\(\{\sigma_1, ..., \sigma_n\}\)をあるコンスタント（定数）分だけシフトすることを見る; Step 3: \(\langle p \rangle \subseteq C_G (p)\)であることを見る。
\([j]\)は、\(j\)の\(n\)で割った余りで、\(0\)を\(n\)で置き換えたものとしよう。
したがって、\(1 \le [j] \le n\)。
例えば、\(n = 2\)である時、\([1] = 1, [2] = 2, [3] = 1, ...\)。
その目的は、"\(j + k \le n\)である時は、\(j + k\)であるが、そうでなければ、\(j + k - n m\)で\(1 \le j + k - n m \le n\)となるもの"のように言わなけれればならないのを避けること; その代わりに、私たちは、単に、\([j + k]\)と言えばよい。
それは単にモジュロ\(n\)にすぎないという人があるかもしれず、アイデアとしてはそうなのだが、厳密に言うと、\(1\)の\(2\)によるモジュロは\(1\)でなく\(1\)のイクイバレンス（同値）クラスである、したがって、私たちはそう言わない。
ステップ1:
\(C_G (p)\)の各要素に対して、当該要素は、アイデンティティ（単位）要素であるか、\(\{1, ..., n\}\)のどの要素も保持しないかであることを見よう。
ある\(p' \in C_G (p)\)が\(\sigma_j\)を保持すると仮定しよう。
\(p' p p'^{-1} = p\)、したがって、\(p' p = p p'\)。
\(p' p (\sigma_j) = p' (\sigma_{[j + 1]}) = p p' (\sigma_j) = p (\sigma_j) = \sigma_{[j + 1]}\)。それが意味するのは、\(p'\)は\(\sigma_{[j + 1]}\)をも保持するということ。すると、\(p'\)は\(\sigma_{[j + 2]}, ..., \sigma_{[j + n - 1]}\)をも保持する、それが意味するのは、\(p'\)は\(\{\sigma_1, ..., \sigma_n\}\)の全ての要素たちを保持するということ、したがって、\(p' = id\)。
ステップ2:
\(p' \in C_G (p)\)は、\(\{1, ..., n\}\)のどの要素も保持しない任意のものであるとしよう。
\(p' p (\sigma_j) = p' (\sigma_{[j + 1]}) = \sigma_{[j + 1 + k]}\)、ある\(k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)で\(1 \le k \lt n\)を満たすものに対して。
\(p p' (\sigma_j) = p (\sigma_{[j + l]}) = \sigma_{[j + l + 1]}\)、ある\(l \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)で\(1 \le l \lt n\)を満たすものに対して。
\(\sigma_{[j + 1 + k]} = \sigma_{[j + l + 1]}\)、それが含意するのは、\(k = l\)。したがって、\(p'\)は\(\sigma_{[j + 1]}\)および\(\sigma_j\)を\(k\)だけシフトする。
同様に、\(p'\)は\(\sigma_{[j + 2]}\)および\(\sigma_{[j + 1]}\)を\(k'\)だけシフトする、しかし、\(k' = k\)、なぜなら、\(\sigma_{[j + 1]}\)は\(k\)だけシフトされることが既に知られている。
したがって、\(p'\)は\(\{\sigma_j, ..., \sigma_{[j + n - 1]}\} = \{\sigma_1, ..., \sigma_n\}\)を\(k\)だけシフトする。
それが意味するのは、\(p' = (\sigma_1, ..., \sigma_n)^k\)。
したがって、\(C_G (p) \subseteq \langle p \rangle\)。
ステップ3:
\(\langle p \rangle \subseteq C_G (p)\)であることを見よう。
\(p^k p (p^k)^{-1} = p^k p p^{-k} = p^{k + 1} p^{-k} = p\)。
したがって、\(C_G (p) = \langle p \rangle\)。
