714: n-シンメトリックグループ（対称群）およびn-サイクル（巡回置換）に対して、シンメトリックグループ（対称群）上のサイクル（巡回置換）のセントラライザー（中心化群）はサイクル（巡回置換）によるシクリックグループ（循環群）である

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n-シンメトリックグループ（対称群）およびn-サイクル（巡回置換）に対して、シンメトリックグループ（対称群）上のサイクル（巡回置換）のセントラライザー（中心化群）はサイクル（巡回置換）によるシクリックグループ（循環群）であることの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、n-シンメトリックグループ（対称群）の定義を知っている。
• 読者は、n-シンメトリックグループ（対称群）上のm-サイクル（巡回置換）の定義を知っている。
• 読者は、グループ（群）上の要素のセントラライザー（中心化群）の定義を知っている。
• 読者は、要素によるシクリックグループ（循環群）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のn-シンメトリックグループ（対称群）および任意のn-サイクル（巡回置換）に対して、当該シンメトリックグループ（対称群）上の当該サイクル（巡回置換）のセントラライザー（中心化群）は当該サイクル（巡回置換）によるシクリックグループ（循環群）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$S_n$: $=n\text{ -シンメトリックグループ（対称群） }$
$p$: $=({\sigma }_1,...,{\sigma }_n)$, $\in \{S_n\text{ 上の全ての }n\text{ -サイクル（巡回置換）たち }\}$
$C_G(p)$: $=G\text{ 上の }p\text{ のセントラライザー（中心化群） }$
$⟨p⟩$: $=p\text{ によるシクリックグループ（循環群） }$
//

ステートメント（言明）たち:
$C_G(p)=⟨p⟩$
//

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2: 自然言語記述

$n$-シンメトリックグループ（対称群）$S_n$、$S_n$上の任意の$n$-サイクル（巡回置換）$p=({\sigma }_1,...,{\sigma }_n)$、$G$上の$p$のセントラライザー（中心化群）$C_G(p)$、$p$によるシクリックグループ（循環群）$⟨p⟩$に対して、$C_G(p)=⟨p⟩$。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $C_G(p)$の各要素に対して、当該要素は、アイデンティティ（単位）要素であるか、$\{1,...,n\}$のどの要素も保持しないかであることを見る; $\{1,...,n\}$のどの要素も保持しない要素は$\{{\sigma }_1,...,{\sigma }_n\}$をあるコンスタント（定数）分だけシフトすることを見る; Step 3: $⟨p⟩\subseteq C_G(p)$であることを見る。

$[j]$は、$j$の$n$で割った余りで、$0$を$n$で置き換えたものとしよう。

したがって、$1\le [j]\le n$。

例えば、$n=2$である時、$[1]=1,[2]=2,[3]=1,...$。

その目的は、"$j+k\le n$である時は、$j+k$であるが、そうでなければ、$j+k-nm$で$1\le j+k-nm\le n$となるもの"のように言わなけれればならないのを避けること; その代わりに、私たちは、単に、$[j+k]$と言えばよい。

それは単にモジュロ$n$にすぎないという人があるかもしれず、アイデアとしてはそうなのだが、厳密に言うと、$1$の$2$によるモジュロは$1$でなく$1$のイクイバレンス（同値）クラスである、したがって、私たちはそう言わない。

ステップ1:

$C_G(p)$の各要素に対して、当該要素は、アイデンティティ（単位）要素であるか、$\{1,...,n\}$のどの要素も保持しないかであることを見よう。

ある$p^{\prime }\in C_G(p)$が${\sigma }_j$を保持すると仮定しよう。

$p^{\prime }p{p}^{\prime -1}=p$、したがって、$p^{\prime }p=p{p}^{\prime }$。

$p^{\prime }p({\sigma }_j)=p^{\prime }({\sigma }_{[j+1]})=p{p}^{\prime }({\sigma }_j)=p({\sigma }_j)={\sigma }_{[j+1]}$。それが意味するのは、$p^{\prime }$は${\sigma }_{[j+1]}$をも保持するということ。すると、$p^{\prime }$は${\sigma }_{[j+2]},...,{\sigma }_{[j+n-1]}$をも保持する、それが意味するのは、$p^{\prime }$は$\{{\sigma }_1,...,{\sigma }_n\}$の全ての要素たちを保持するということ、したがって、$p^{\prime }=id$。

ステップ2:

$p^{\prime }\in C_G(p)$は、$\{1,...,n\}$のどの要素も保持しない任意のものであるとしよう。

$p^{\prime }p({\sigma }_j)=p^{\prime }({\sigma }_{[j+1]})={\sigma }_{[j+1+k]}$、ある$k\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$で$1\le k<n$を満たすものに対して。

$p{p}^{\prime }({\sigma }_j)=p({\sigma }_{[j+l]})={\sigma }_{[j+l+1]}$、ある$l\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$で$1\le l<n$を満たすものに対して。

${\sigma }_{[j+1+k]}={\sigma }_{[j+l+1]}$、それが含意するのは、$k=l$。したがって、$p^{\prime }$は${\sigma }_{[j+1]}$および${\sigma }_j$を$k$だけシフトする。

同様に、$p^{\prime }$は${\sigma }_{[j+2]}$および${\sigma }_{[j+1]}$を$k^{\prime }$だけシフトする、しかし、$k^{\prime }=k$、なぜなら、${\sigma }_{[j+1]}$は$k$だけシフトされることが既に知られている。

したがって、$p^{\prime }$は$\{{\sigma }_j,...,{\sigma }_{[j+n-1]}\}=\{{\sigma }_1,...,{\sigma }_n\}$を$k$だけシフトする。

それが意味するのは、$p^{\prime }=({\sigma }_1,...,{\sigma }_n{)}^k$。

したがって、$C_G(p)\subseteq ⟨p⟩$。

ステップ3:

$⟨p⟩\subseteq C_G(p)$であることを見よう。

$p^{k}p(p^k{)}^{-1}=p^{k}p{p}^{-k}=p^{k+1}{p}^{-k}=p$。

したがって、$C_G(p)=⟨p⟩$。

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参考資料

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