730: セット（集合）のユニオン（和集合）

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セット（集合）のユニオン（和集合）の定義

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話題

About: set

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、セット（集合）のユニオン（和集合）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$S$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$\ast \cup S$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
//

コンディションたち:
$p\in \cup S$
$⟺$
$\mathrm{\exists }{p}^{\prime }\in S(p\in p^{\prime })$
//

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2: 自然言語記述

任意のセット（集合）$S$に対して、以下を満たすセット（集合）$\cup S$、つまり、$p\in \cup S$、もしも、$\mathrm{\exists }{p}^{\prime }\in S(p\in p^{\prime })$である場合、そしてその場合に限って

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3: 注

$\cup S$は本当にZFCセット（集合）理論においてセット（集合）である、ユニオン（和集合）公理によって。

頻繁に見られる表現たち$S_1\cup S_2$および${\cup }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }$は、本当のところ$S_1\cup S_2:=\cup \{S_1,S_2\}$および${\cup }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }:=\cup \{S_{\alpha }|\alpha \in A\}$である: $A$がセット（集合）である時、$\{S_{\alpha }|\alpha \in A\}$はリプレイスメント（置き換え）公理によってセット（集合）である。

${\cup }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }$の特別なケース、ここで、$A=\{p\}$、は$\cup S_p$とは表わせない、なぜなら、${\cup }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }$は$\cup \{S_p\}=S_p$であり、$\cup S_p$でない。

$\cup \mathrm{\varnothing }=\mathrm{\varnothing }$、なぜなら、何らの要素$p$も$\cup \mathrm{\varnothing }$内にいられない、なぜなら、$p\in p^{\prime }$を満たす$p^{\prime }\in \mathrm{\varnothing }$はない。

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参考資料

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