セット（集合）のユニオン（和集合）の定義
話題
About: set
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、セット（集合）のユニオン（和集合）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( S\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(*\cup S\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(p \in \cup S\)
\(\iff\)
\(\exists p' \in S (p \in p')\)
//
2: 自然言語記述
任意のセット（集合）\(S\)に対して、以下を満たすセット（集合）\(\cup S\)、つまり、\(p \in \cup S\)、もしも、\(\exists p' \in S (p \in p')\)である場合、そしてその場合に限って
3: 注
\(\cup S\)は本当にZFCセット（集合）理論においてセット（集合）である、ユニオン（和集合）公理によって。
頻繁に見られる表現たち\(S_1 \cup S_2\)および\(\cup_{\alpha \in A} S_\alpha\)は、本当のところ\(S_1 \cup S_2 := \cup \{S_1, S_2\}\)および\(\cup_{\alpha \in A} S_\alpha := \cup \{S_\alpha \vert \alpha \in A\}\)である: \(A\)がセット（集合）である時、\(\{S_\alpha \vert \alpha \in A\}\)はリプレイスメント（置き換え）公理によってセット（集合）である。
\(\cup_{\alpha \in A} S_\alpha\)の特別なケース、ここで、\(A = \{p\}\)、は\(\cup S_p\)とは表わせない、なぜなら、\(\cup_{\alpha \in A} S_\alpha\)は\(\cup \{S_p\} = S_p\)であり、\(\cup S_p\)でない。
\(\cup \emptyset = \emptyset\)、なぜなら、何らの要素\(p\)も\(\cup \emptyset\)内にいられない、なぜなら、\(p \in p'\)を満たす\(p' \in \emptyset\)はない。
