セット（集合）に対して、セット（集合）のパワーセット（集合）のユニオン（和集合）はセット（集合）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）のパワーセット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）のユニオン（和集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、当該セット（集合）のパワーセット（集合）のユニオン（和集合）は当該セット（集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\cup Pow (S) = S\)
//
2: 自然言語記述
任意のセット（集合）\(S\)に対して、\(\cup Pow (S) = S\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\cup Pow (S)\)の各要素は\(S\)内に包含されていることを見る; ステップ2: \(S\)の各要素は\(\cup Pow (S)\)内に包含されていることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(p \in \cup Pow (S)\)は任意のものであるとしよう。
\(p\)が\(Pow (S)\)のユニオン（和集合）内にいるということが意味するのは、\(p\)は\(Pow (S)\)のある要素の中にいるということ、それ（当該要素）は\(S\)のあるサブセット（部分集合）である、したがって、\(p\)は\(S\)のあるサブセット（部分集合）内にある、それが含意するのは、\(p \in S\)。
したがって、\(\cup Pow (S) \subseteq S\)。
ステップ2:
\(p \in S\)は任意のものであるとしよう。
\(\{p\} \in Pow (S)\)、したがって、\(p\)は\(Pow (S)\)のある要素内にある、したがって、\(p \in \cup Pow (S)\)。
したがって、\(S \subseteq \cup Pow (S)\)。
ステップ3:
したがって、\(\cup Pow (S) = S\)。
4: 注
他方で、\(Pow (\cup S) \neq S\)、一般に: 常に\(\emptyset \in Pow (\cup S)\)である一方、\(\emptyset\)は\(S\)内にいない、一般には。
