731: セット（集合）に対して、セット（集合）のパワーセット（集合）のユニオン（和集合）はセット（集合）である

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セット（集合）に対して、セット（集合）のパワーセット（集合）のユニオン（和集合）はセット（集合）であることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明
• 4: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）のパワーセット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、セット（集合）のユニオン（和集合）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のセット（集合）に対して、当該セット（集合）のパワーセット（集合）のユニオン（和集合）は当該セット（集合）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$S$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\cup Pow(S)=S$
//

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2: 自然言語記述

任意のセット（集合）$S$に対して、$\cup Pow(S)=S$。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $\cup Pow(S)$の各要素は$S$内に包含されていることを見る; ステップ2: $S$の各要素は$\cup Pow(S)$内に包含されていることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。

ステップ1:

$p\in \cup Pow(S)$は任意のものであるとしよう。

$p$が$Pow(S)$のユニオン（和集合）内にいるということが意味するのは、$p$は$Pow(S)$のある要素の中にいるということ、それ（当該要素）は$S$のあるサブセット（部分集合）である、したがって、$p$は$S$のあるサブセット（部分集合）内にある、それが含意するのは、$p\in S$。

したがって、$\cup Pow(S)\subseteq S$。

ステップ2:

$p\in S$は任意のものであるとしよう。

$\{p\}\in Pow(S)$、したがって、$p$は$Pow(S)$のある要素内にある、したがって、$p\in \cup Pow(S)$。

したがって、$S\subseteq \cup Pow(S)$。

ステップ3:

したがって、$\cup Pow(S)=S$。

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4: 注

他方で、$Pow(\cup S)\ne S$、一般に: 常に$\mathrm{\varnothing }\in Pow(\cup S)$である一方、$\mathrm{\varnothing }$は$S$内にいない、一般には。

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参考資料

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