729: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）からのリニア（線形）サージェクション（全射）に対して、もしも、コドメイン（余域）のディメンション（次元）がドメイン（定義域）のそれに等しいかそれより大きい場合、サージェクション（全射）はバイジェクション（全単射）である

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ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）からのリニア（線形）サージェクション（全射）に対して、もしも、コドメイン（余域）のディメンション（次元）がドメイン（定義域）のそれに等しいかそれより大きい場合、サージェクション（全射）はバイジェクション（全単射）であることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注
• 4: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、リニア（線形）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のディメンション（次元）の定義を知っている。
• 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。
• 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のファイナイト（有限）ジェネレイター（作成元たち）は縮小してあるベーシス（基底）にできるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）からの任意のリニア（線形）サージェクション（全射）に対して、もしも、コドメイン（余域）のディメンション（次元）がドメイン（定義域）のそれに等しいかそれより大きい場合、当該サージェクション（全射）はバイジェクション（全単射）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$V_1$: $\in \{\text{ 全ての }{d}_1\text{ ディメンショナル（次元） }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$V_2$: $\in \{\text{ 全ての }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$f$: $:V_1\to V_2$, $\in \{\text{ 全てのリニア（線形）サージェクション（全射）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$dim{V}_1\le dim{V}_2$
$⟹$
$f\in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意のフィールド（体）$F$、任意の$d_1$ディメンショナル（次元）$F$ベクトルたちスペース（空間）$V_1$、任意の$F$ベクトルたちスペース（空間）$V_2$、任意のリニア（線形）サージェクション（全射）$f:V_1\to V_2$に対して、もしも、$dim{V}_1\le dim{V}_2$である場合、$f$はバイジェクション（全単射）である。

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3: 注

$V_2$はファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）であるとは仮定されていない、$V_2$はファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）、実のところ、$d_1$ディメンショナル（次元）、であると結論されるが。

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4: 証明

全体戦略: ステップ1: $V_1$に対する任意のベーシス（基底）を選ぶ; ステップ2: $f$のレンジ（値域）を当該ベーシス（基底）のイメージ（像）で表現し、$V_2$は当該ベーシス（基底）のイメージ（像）によってスパン（張る）されることを見る; ステップ3: $V_1$の何らかの互いに異なる要素たちで同一要素へマップされるものたちがあったと仮定し、矛盾を見つける。

ステップ1:

$V_1$に対する任意のベーシス（基底）$\{e_1,...,e_{d_1}\}$を選ぼう。

ステップ2:

各$v\in V_1$に対して、$v=\sum _{j\in \{1,...,d_1\}}{v}^j{e}_j$、ここで、$v^j\in F$、$f(v)=\sum _{j\in \{1,...,d_1\}}{v}^{j}f(e_j)$、そして、$f(V_1)=V_2=\{\sum _{j\in \{1,...,d_1\}}{v}^{j}f(e_j)|v^j\in F\}$、それが意味するのは、$V_2$は$\{f(e_1),...,f(e_{d_1})\}$によってスパン（張る）されるということ。

ステップ3:

以下を満たすある$v_1,v_2\in V_1$、つまり、$v_1\ne v_2$および$f(v_1)=f(v_2)$、があったと仮定しよう。

$v_1=\sum _{j\in \{1,...,d_1\}}{v_1}^j{e}_j$および$v_2=\sum _{j\in \{1,...,d_1\}}{v_2}^j{e}_j$。$f(v_1)=\sum _{j\in \{1,...,d_1\}}{v_1}^{j}f(e_j)=\sum _{j\in \{1,...,d_1\}}{v_2}^{j}f(e_j)=f(v_2)$。$v_1\ne v_2$であるので、ある$k$に対して${v_1}^k\ne {v_2}^k$。すると、$\sum _{j\in \{1,...,d_1\}}({v_1}^j-{v_2}^j)f(e_j)=0$、しかし、$v_1-v_2\ne 0$であるので、$\{f(e_1),...,f(e_n)\}$はリニア（線形）にディペンデント（依存）であることになる。

したがって、$\{f(e_1),...,f(e_n)\}$は$V_2$のベーシス（基底）ではないということになる、しかし、$\{f(e_1),...,f(e_n)\}$は縮小して、$V_2$のあるベーシス（基底）にできる、任意のベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のファイナイト（有限）ジェネレイター（作成元たち）は縮小してあるベーシス（基底）にできるという命題によって、それが意味するのは、$dim{V}_2<dim{V}_1$、$dim{V}_1\le dim{V}_2$に反する矛盾。

したがって、$f$はインジェクティブ（単射）である、そして、$f$はバイジェクティブ（全単射）である。

実のところ、$\{f(e_1),...,f(e_n)\}$はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であり、あるベーシス（基底）である、なぜなら、そうでなければ、$dim{V}_2<dim{V}_1$、したがって、$dim{V}_2=dim{V}_1$。

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参考資料

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