763: プロダクトマップ（写像）たちのコンポジション（合成）はコンポーネントマップ（写像）たちのコンポジション（合成）たちのプロダクトである

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プロダクトマップ（写像）たちのコンポジション（合成）はコンポーネントマップ（写像）たちのコンポジション（合成）たちのプロダクトであることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述1
• 2: 自然言語記述1
• 3: 証明1
• 4: 構造化された記述2
• 5: 自然言語記述2
• 6: 証明2

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開始コンテキスト

• 読者は、プロダクトマップ（写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のプロダクトマップ（写像）たちのコンポジション（合成）は当該コンポーネントマップ（写像）たちのコンポジション（合成）たちのプロダクトであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述1

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$A$: $\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}$
$\{S_{\alpha }|\alpha \in A\}$: $S_{\alpha }\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$\{S_{\alpha }^{\prime }|\alpha \in A\}$: $S_{\alpha }^{\prime }\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$\{S_{\alpha }^{″}|\alpha \in A\}$: $S_{\alpha }^{″}\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$\{f_{\alpha }|\alpha \in A\}$: $f_{\alpha }:S_{\alpha }\to S_{\alpha }^{\prime }$
$\{f_{\alpha }^{\prime }|\alpha \in A\}$: $f_{\alpha }^{\prime }:S_{\alpha }^{\prime }\to S_{\alpha }^{″}$
${\times }_{\alpha \in A}{f}_{\alpha }$: $:{\times }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }\to {\times }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }^{\prime },(\alpha \mapsto f(\alpha ))\mapsto (\alpha \mapsto f_{\alpha }(f(\alpha )))$
${\times }_{\alpha \in A}{f}_{\alpha }^{\prime }$: $:{\times }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }^{\prime }\to {\times }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }^{″},(\alpha \mapsto f(\alpha ))\mapsto (\alpha \mapsto f_{\alpha }^{\prime }(f(\alpha )))$
//

ステートメント（言明）たち:
${\times }_{\alpha \in A}{f}_{\alpha }^{\prime }\circ {\times }_{\alpha \in A}{f}_{\alpha }:{\times }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }\to {\times }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }^{″}={\times }_{\alpha \in A}{f}_{\alpha }^{\prime }\circ f_{\alpha }:{\times }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }\to {\times }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }^{″}$
//

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2: 自然言語記述1

アンカウンタブル（不可算）かもしれない任意のインデックスセット（集合）$A$、セット（集合）たちの任意のセット（集合）$\{S_{\alpha }|\alpha \in A\}$、セット（集合）たちの任意のセット（集合）$\{S_{\alpha }^{\prime }|\alpha \in A\}$、セット（集合）たちの任意のセット（集合）$\{S_{\alpha }^{″}|\alpha \in A\}$、以下を満たすマップ（写像）たちの任意のセット（集合）$\{f_{\alpha }|\alpha \in A\}$、つまり、$f_{\alpha }:S_{\alpha }\to S_{\alpha }^{\prime }$、以下を満たすマップ（写像）たちの任意のセット（集合）$\{f_{\alpha }^{\prime }|\alpha \in A\}$、つまり、$f_{\alpha }^{\prime }:S_{\alpha }^{\prime }\to S_{\alpha }^{″}$、${\times }_{\alpha \in A}{f}_{\alpha }:{\times }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }\to {\times }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }^{\prime },(\alpha \mapsto f(\alpha ))\mapsto (\alpha \mapsto f_{\alpha }(f(\alpha )))$、${\times }_{\alpha \in A}{f}_{\alpha }^{\prime }:{\times }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }^{\prime }\to {\times }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }^{″},(\alpha \mapsto f(\alpha ))\mapsto (\alpha \mapsto f_{\alpha }^{\prime }(f(\alpha )))$に対して、${\times }_{\alpha \in A}{f}_{\alpha }^{\prime }\circ {\times }_{\alpha \in A}{f}_{\alpha }:{\times }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }\to {\times }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }^{″}={\times }_{\alpha \in A}{f}_{\alpha }^{\prime }\circ f_{\alpha }:{\times }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }\to {\times }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }^{″}$。

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3: 証明1

全体戦略: ステップ1: ${\times }_{\alpha \in A}{f}_{\alpha }^{\prime }\circ f_{\alpha }:{\times }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }\to {\times }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }^{″}$は本当に意味をなしていることをみる; ステップ2: ${\times }_{\alpha \in A}{f}_{\alpha }^{\prime }\circ {\times }_{\alpha \in A}{f}_{\alpha }$は$p=(\alpha \mapsto f(\alpha ))$を何へマップするかを見る; ステップ3: ${\times }_{\alpha \in A}{f}_{\alpha }^{\prime }\circ f_{\alpha }$は$p=(\alpha \mapsto f(\alpha ))$を何へマップするかを見る; ステップ4: 本命題を結論する。

ステップ1:

${\times }_{\alpha \in A}{f}_{\alpha }^{\prime }\circ f_{\alpha }:{\times }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }\to {\times }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }^{″}$は本当に意味をなしていることをみよう。

$f_{\alpha }^{\prime }\circ f_{\alpha }:S_{\alpha }\to S_{\alpha }^{″}$。

したがって、${\times }_{\alpha \in A}{f}_{\alpha }^{\prime }\circ f_{\alpha }:{\times }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }\to {\times }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }^{″}$は意味をなしている、プロジェクトマップ（写像）の定義に基づいて。それは、$:(\alpha \mapsto f(\alpha ))\mapsto (\alpha \mapsto f_{\alpha }^{\prime }\circ f_{\alpha }(f(\alpha )))$である。

ステップ2:

$p=(\alpha \mapsto f(\alpha ))\in {\times }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }$は任意のものであるとしよう。

${\times }_{\alpha \in A}{f}_{\alpha }^{\prime }\circ {\times }_{\alpha \in A}{f}_{\alpha }$は$p$を何にマップするかを見よう。

$p\mapsto (\alpha \mapsto f_{\alpha }(f(\alpha )))\mapsto (\alpha \mapsto f_{\alpha }^{\prime }\circ f_{\alpha }(f(\alpha )))$。

ステップ3:

$p=(\alpha \mapsto f(\alpha ))\in {\times }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }$は任意のものとしよう。

${\times }_{\alpha \in A}{f}_{\alpha }^{\prime }\circ f_{\alpha }$は$p$を何にマップするかを見よう。

$p\mapsto (\alpha \mapsto f_{\alpha }^{\prime }\circ f_{\alpha }(f(\alpha )))$。

ステップ4:

ステップ2およびステップ3は、当該2マップ（写像）たちは$p$を同一ポイントへマップすることを示した、したがって、当該2マップ（写像）たちは同一である。

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4: 構造化された記述2

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$J$: $=\{1,...,n\}$
$\{S_j|j\in J\}$: $S_j\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$\{S_j^{\prime }|j\in J\}$: $S_j^{\prime }\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$\{S_j^{″}|j\in J\}$: $S_j^{″}\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$\{f_j|j\in J\}$: $f_j:S_j\to S_j^{\prime }$
$\{f_j^{\prime }|j\in J\}$: $f_j^{\prime }:S_j^{\prime }\to S_j^{″}$
$f_1\times ...\times f_n$: $:S_1\times ...\times S_n\to S_1^{\prime }\times ...\times S_n^{\prime },(p_1,...,p_n)\mapsto (f_1(p_1),,...,f_n(p_n))$
$f_1^{\prime }\times ...\times f_n^{\prime }$: $:S_1^{\prime }\times ...\times S_n^{\prime }\to S_1^{″}\times ...\times S_n^{″},(p_1,...,p_n)\mapsto (f_1^{\prime }(p_1),,...,f_n^{\prime }(p_n))$
//

ステートメント（言明）たち:
$f_1^{\prime }\times ...\times f_n^{\prime }\circ f_1\times ...\times f_n:S_1\times ...\times S_n\to S_1^{″}\times ...\times S_n^{″}=f_1^{\prime }\circ f_1\times ...\times f_n^{\prime }\circ f_n:S_1\times ...\times S_n\to S_1^{″}\times ...\times S_n^{″}$
//

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5: 自然言語記述2

ファイナイト（有限）インデックスセット（集合）$J=\{1,...,n\}$、セット（集合）たちの任意のセット（集合）$\{S_j|j\in J\}$、セット（集合）たちの任意のセット（集合）$\{S_j^{\prime }|j\in J\}$、セット（集合）たちの任意のセット（集合）$\{S_j^{″}|j\in J\}$、以下を満たすマップ（写像）たちの任意のセット（集合）$\{f_j|j\in J\}$、つまり、$f_j:S_j\to S_j^{\prime }$、以下を満たすマップ（写像）たちの任意のセット（集合）$\{f_j^{\prime }|j\in J\}$ 、つまり、$f_j^{\prime }:S_j^{\prime }\to S_j^{″}$、$f_1\times ...\times f_n:S_1\times ...\times S_n\to S_1^{\prime }\times ...\times S_n^{\prime },(p_1,...,p_n)\mapsto (f_1(p_1),,...,f_n(p_n))$、$f_1^{\prime }\times ...\times f_n^{\prime }:S_1^{\prime }\times ...\times S_n^{\prime }\to S_1^{″}\times ...\times S_n^{″},(p_1,...,p_n)\mapsto (f_1^{\prime }(p_1),,...,f_n^{\prime }(p_n))$に対して、$f_1^{\prime }\times ...\times f_n^{\prime }\circ f_1\times ...\times f_n:S_1\times ...\times S_n\to S_1^{″}\times ...\times S_n^{″}=f_1^{\prime }\circ f_1\times ...\times f_n^{\prime }\circ f_n:S_1\times ...\times S_n\to S_1^{″}\times ...\times S_n^{″}$。

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6: 証明2

全体戦略: ステップ1: $f_1^{\prime }\circ f_1\times ...\times f_n^{\prime }\circ f_n:S_1\times ...\times S_n\to S_1^{″}\times ...\times S_n^{″}$は本当に意味をなしていることをみる; ステップ2: $f_1^{\prime }\times ...\times f_n^{\prime }\circ f_1\times ...\times f_n$は$p=(p_1,...,p_n)$を何へマップするかを見る; ステップ3: $f_1^{\prime }\circ f_1\times ...\times f_n^{\prime }\circ f_n$は$p=(p_1,...,p_n)$を何へマップするかを見る; ステップ4: 本命題を結論する。

ステップ1:

$f_1^{\prime }\circ f_1\times ...\times f_n^{\prime }\circ f_n:S_1\times ...\times S_n\to S_1^{″}\times ...\times S_n^{″}$は本当に意味をなしていることをみよう。

$f_j^{\prime }\circ f_j:S_j\to S_j^{″}$。

したがって、$f_1^{\prime }\circ f_1\times ...\times f_n^{\prime }\circ f_n:S_1\times ...\times S_n\to S_1^{″}\times ...\times S_n^{″}$は意味をなしている、プロジェクトマップ（写像）の定義に基づいて。それは、$:(p_1,...,p_n)\mapsto (f_1^{\prime }\circ f_1(p_1),...,f_n^{\prime }\circ f_n(p_n))$である。

ステップ2:

$p=(p_1,...,p_n)\in S_1\times ...\times S_n$は任意のものであるとしよう。

$f_1^{\prime }\times ...\times f_n^{\prime }\circ f_1\times ...\times f_n$は$p$を何にマップするかを見よう。

$p\mapsto (f_1(p_1),,...,f_n(p_n))\mapsto (f_1^{\prime }\circ f_1(p_1),,...,f_n^{\prime }\circ f_n(p_n))$。

ステップ3:

$p=(p_1,...,p_n)\in S_1\times ...\times S_n$は任意のものとしよう。

$f_1^{\prime }\circ f_1\times ...\times f_n^{\prime }\circ f_n$は$p$を何にマップするかを見よう。

$p\mapsto (f_1^{\prime }\circ f_1(p_1),...,f_n^{\prime }\circ f_n(p_n))$。

ステップ4:

ステップ2およびステップ3は、当該2マップ（写像）たちは$p$を同一ポイントへマップすることを示した、したがって、当該2マップ（写像）たちは同一である。

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参考資料

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