764: ファイナイト（有限）プロダクトC∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き

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ファイナイト（有限）プロダクト$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付きの定義

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
• 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
• 読者は、プロダクトマップ（写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、ファイナイト（有限）プロダクト$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$\{M_1,...,M_{n-1}\}$: $\subseteq \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）たち }\}$で、アトラスたち$\{A_1,...,A_{n-1}\}$を持つものたち
$M_n$: $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$で、アトラス$A_n$を持つもの
$\ast M_1\times ...\times M_n$: $=\text{ 当該 }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き }$で、プロダクトトポロジーと後に指定されるアトラス$A$を持つもの
$f$: $:{\mathbb{R}}^{d_1}\times ...\times {\mathbb{R}}^{d_n}\to {\mathbb{R}}^{d_1+...+d_n}$, $=\text{ カノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像） }$
$g$: $:{\mathbb{R}}^{d_1}\times ...\times {\mathbb{H}}^{d_n}\to {\mathbb{H}}^{d_1+...+d_n}$, $=\text{ カノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像） }$
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コンディションたち:
$\mathrm{\forall }(U_{j,{\alpha }_j}\subseteq M_j,{\varphi }_{j,{\alpha }_j})\in A_j((U_{1,{\alpha }_1}\times ...\times U_{n,{\alpha }_n}\subseteq M_1\times ...\times M_n,(f\text{ または }g)\circ {\varphi }_{1,{\alpha }_1}\times ...\times {\varphi }_{n,{\alpha }_n})\in A)$、ここで、$f$であるか$g$であるかは、$(U_{n,{\alpha }_n}\subseteq M_n,{\varphi }_{j,{\alpha }_n})$がインナー（内部）チャートであるかバウンダリー（境界）チャートであるかによって決まる
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2: 自然言語記述

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち$M_1,...,M_{n-1}$で、任意のアトラスたち$A_1,...,A_{n-1}$を持つもの、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き$M_n$で、任意のアトラス$A_n$を持つもの、カノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像）$f:{\mathbb{R}}^{d_1}\times ...\times {\mathbb{R}}^{d_n}\to {\mathbb{R}}^{d_1+...+d_n}$、カノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像）$g:{\mathbb{R}}^{d_1}\times ...\times {\mathbb{H}}^{d_n}\to {\mathbb{H}}^{d_1+...+d_n}$に対して、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、$M_1\times ...\times M_n$で、プロダクトトポロジーと以下を満たすアトラス$A$、つまり、$\mathrm{\forall }(U_{j,{\alpha }_j}\subseteq M_j,{\varphi }_{j,{\alpha }_j})\in A_j((U_{1,{\alpha }_1}\times ...\times U_{n,{\alpha }_n}\subseteq M_1\times ...\times M_n,(f\text{ または }g)\circ {\varphi }_{1,{\alpha }_1}\times ...\times {\varphi }_{n,{\alpha }_n})\in A)$、ここで、$f$であるか$g$であるかは、$(U_{n,{\alpha }_n}\subseteq M_n,{\varphi }_{j,{\alpha }_n})$がインナー（内部）チャートであるかバウンダリー（境界）チャートであるかによって決まる

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3: 注

$M_n$のバウンダリー（境界）は空であるかもしれない、その時、$M_n$は$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）になり、$M_1\times ...\times M_n$は$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）になる。したがって、本定義は、'ファイナイト（有限）プロダクト$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）'を含んでいる。

本定義はウェルデファインド（妥当に定義されている）であることを見よう。

任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはハウスドルフトポロジカルスペース（空間）である、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはハウスドルフであるという命題によって。

ファイナイト（有限）数の任意のセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）である、ファイナイト（有限）数の任意のセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはセカンドカウンタブル（可算）であるという命題によって。

$U_{1,{\alpha }_1}\times ...\times U_{n,{\alpha }_n}\subseteq M_1\times ...\times M_n$はオープン（開）である、プロダクトトポロジーの定義によって。

$f$と$g$は本当にホメオモーフィズム（位相同形写像）たちである、$d$ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、いくつかより低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちの任意のコンビネーションのプロダクトで、プロダクトのディメンション（次元）が$d$へ等しいものへホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題および$d$ディメンショナル（次元）クローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）はより低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちおよびクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアンペース（空間）の任意のコンビネーションのプロダクトで、プロダクトのディメンション（次元）が$d$へ等しいものへホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題によって。

$(f\text{ または }g)\circ {\varphi }_{1,{\alpha }_1}(U_{1,{\alpha }_1})\times ...\times {\varphi }_{n,{\alpha }_n}(U_{n,{\alpha }_n})\subseteq {\mathbb{R}}^{d_1+...+d_n}\text{ または }{\mathbb{H}}^{d_1+...+d_n}$はオープン（開）である、プロダクトトポロジーの定義によって、なぜなら、${\varphi }_{j,{\alpha }_j}(U_{j,{\alpha }_j})\in {\mathbb{R}}^{d_j}\text{ または }{\mathbb{H}}^{d_j}$はオープン（開）である。

$(f\text{ または }g)\circ {\varphi }_{1,{\alpha }_1}\times ...\times {\varphi }_{n,{\alpha }_n}$はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、任意の有限個のコンティヌアス（連続）マップ（写像）たちのプロダクトマップ（写像）は、プロダクトトポロジーによってコンティヌアス（連続）であるという命題および and 任意のプロダクトマップ（写像）によるプリイメージ（前像）は当該コンポーネントマップ（写像）たちによるプリイメージ（前像）たちのプロダクトであるという命題によって: 各コンポーネントマップ（写像）はホメオモーフィズム（位相同形写像）であるので、プロダクトコドメイン（余域）上の各ポイントのプリイメージ（前像）は、コンポーネントマップ（写像）たちのインバース（逆）たち下のイメージ（像）たちのプロダクトであるポイントである、したがって、プロダクトマップ（写像）のインバース（逆）は、コンポーネントマップ（写像）たちのコンティニュアス（連続）インバース（逆）たちのプロダクトである。

トランジション（遷移）マップ（写像）に関しては、$(f\text{ または }g)\circ {\varphi }_{1,{\alpha }_1}^{\prime }\times ...\times {\varphi }_{n,{\alpha }_n}^{\prime }\circ ((f\text{ または }g)\circ {\varphi }_{1,{\alpha }_1}\times ...\times {\varphi }_{n,{\alpha }_n}{)}^{-1}=(f\text{ または }g)\circ {\varphi }_{1,{\alpha }_1}^{\prime }\times ...\times {\varphi }_{n,{\alpha }_n}^{\prime }\circ ({{\varphi }_{1,{\alpha }_1}}^{-1}\times ...\times {{\varphi }_{n,{\alpha }_n}}^{-1}\circ (f\text{ または }g{)}^{-1})$、任意のプロダクトマップ（写像）によるプリイメージ（前像）は当該コンポーネントマップ（写像）たちによるプリイメージ（前像）たちのプロダクトであるという命題によって、そして、$=(f\text{ または }g)\circ ({\varphi }_{1,{\alpha }_1}^{\prime }\circ {{\varphi }_{1,{\alpha }_1}}^{-1})\times ...\times ({\varphi }_{n,{\alpha }_n}^{\prime }\circ {{\varphi }_{n,{\alpha }_n}}^{-1})\circ (f\text{ or }g{)}^{-1}$、任意のプロダクトマップ（写像）たちのコンポジション（合成）は当該コンポーネントマップ（写像）たちのコンポジション（合成）たちのプロダクトであるという命題によって、それは、$C^{\mathrm{\infty }}$、なぜなら、各${\varphi }_{j,{\alpha }_j}^{\prime }\circ {{\varphi }_{j,{\alpha }_j}}^{-1}$は$C^{\mathrm{\infty }}$である。

当該チャートたちは$M_1\times ...\times M_n$をカバーする、なぜなら、各$(m_1,...,m_n)\in M_1\times ...\times M_n$に対して、以下を満たすあるチャート$(U_{j,{\alpha }_j}\subseteq M_j,{\varphi }_{j,{\alpha }_j})\in A_j$、つまり、各$j\in \{1,...,n\}$に対して$m_j\in U_{j,{\alpha }_j}$、そして、$(m_1,...,m_n)\in U_{1,{\alpha }_1}\times ...\times U_{n,{\alpha }_n}$。

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参考資料

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