ファイナイト（有限）プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付きの定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
- 読者は、プロダクトマップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( \{M_1, ..., M_{n - 1}\}\): \(\subseteq \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）たち }\}\)で、アトラスたち\(\{A_1, ..., A_{n - 1}\}\)を持つものたち
\( M_n\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)で、アトラス\(A_n\)を持つもの
\(*M_1 \times ... \times M_n\): \(= \text{ 当該 } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き }\)で、プロダクトトポロジーと後に指定されるアトラス\(A\)を持つもの
\(f\): \(: \mathbb{R}^{d_1} \times ... \times \mathbb{R}^{d_n} \to \mathbb{R}^{d_1 + ... + d_n}\), \(= \text{ カノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像） }\)
\(g\): \(: \mathbb{R}^{d_1} \times ... \times \mathbb{H}^{d_n} \to \mathbb{H}^{d_1 + ... + d_n}\), \(= \text{ カノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像） }\)
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コンディションたち:
\(\forall (U_{j, \alpha_j} \subseteq M_j, \phi_{j, \alpha_j}) \in A_j ((U_{1, \alpha_1} \times ... \times U_{n, \alpha_n} \subseteq M_1 \times ... \times M_n, (f \text{ または } g) \circ \phi_{1, \alpha_1} \times ... \times \phi_{n, \alpha_n}) \in A)\)、ここで、\(f\)であるか\(g\)であるかは、\((U_{n, \alpha_n} \subseteq M_n, \phi_{j, \alpha_n})\)がインナー（内部）チャートであるかバウンダリー（境界）チャートであるかによって決まる
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2: 自然言語記述
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち\(M_1, ..., M_{n - 1}\)で、任意のアトラスたち\(A_1, ..., A_{n - 1}\)を持つもの、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き\(M_n\)で、任意のアトラス\(A_n\)を持つもの、カノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像）\(f: \mathbb{R}^{d_1} \times ... \times \mathbb{R}^{d_n} \to \mathbb{R}^{d_1 + ... + d_n}\)、カノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像）\(g: \mathbb{R}^{d_1} \times ... \times \mathbb{H}^{d_n} \to \mathbb{H}^{d_1 + ... + d_n}\)に対して、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、\(M_1 \times ... \times M_n\)で、プロダクトトポロジーと以下を満たすアトラス\(A\)、つまり、\(\forall (U_{j, \alpha_j} \subseteq M_j, \phi_{j, \alpha_j}) \in A_j ((U_{1, \alpha_1} \times ... \times U_{n, \alpha_n} \subseteq M_1 \times ... \times M_n, (f \text{ または } g) \circ \phi_{1, \alpha_1} \times ... \times \phi_{n, \alpha_n}) \in A)\)、ここで、\(f\)であるか\(g\)であるかは、\((U_{n, \alpha_n} \subseteq M_n, \phi_{j, \alpha_n})\)がインナー（内部）チャートであるかバウンダリー（境界）チャートであるかによって決まる
3: 注
\(M_n\)のバウンダリー（境界）は空であるかもしれない、その時、\(M_n\)は\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）になり、\(M_1 \times ... \times M_n\)は\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）になる。したがって、本定義は、'ファイナイト（有限）プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）'を含んでいる。
本定義はウェルデファインド（妥当に定義されている）であることを見よう。
任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはハウスドルフトポロジカルスペース（空間）である、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはハウスドルフであるという命題によって。
ファイナイト（有限）数の任意のセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）である、ファイナイト（有限）数の任意のセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはセカンドカウンタブル（可算）であるという命題によって。
\(U_{1, \alpha_1} \times ... \times U_{n, \alpha_n} \subseteq M_1 \times ... \times M_n\)はオープン（開）である、プロダクトトポロジーの定義によって。
\(f\)と\(g\)は本当にホメオモーフィズム（位相同形写像）たちである、\(d\)ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、いくつかより低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちの任意のコンビネーションのプロダクトで、プロダクトのディメンション（次元）が\(d\)へ等しいものへホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題および\(d\)ディメンショナル（次元）クローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）はより低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちおよびクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアンペース（空間）の任意のコンビネーションのプロダクトで、プロダクトのディメンション（次元）が\(d\)へ等しいものへホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題によって。
\((f \text{ または } g) \circ \phi_{1, \alpha_1} (U_{1, \alpha_1}) \times ... \times \phi_{n, \alpha_n} (U_{n, \alpha_n}) \subseteq \mathbb{R}^{d_1 + ... + d_n} \text{ または } \mathbb{H}^{d_1 + ... + d_n}\)はオープン（開）である、プロダクトトポロジーの定義によって、なぜなら、\(\phi_{j, \alpha_j} (U_{j, \alpha_j}) \in \mathbb{R}^{d_j} \text{ または } \mathbb{H}^{d_j}\)はオープン（開）である。
\((f \text{ または } g) \circ \phi_{1, \alpha_1} \times ... \times \phi_{n, \alpha_n}\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、任意の有限個のコンティヌアス（連続）マップ（写像）たちのプロダクトマップ（写像）は、プロダクトトポロジーによってコンティヌアス（連続）であるという命題および and 任意のプロダクトマップ（写像）によるプリイメージ（前像）は当該コンポーネントマップ（写像）たちによるプリイメージ（前像）たちのプロダクトであるという命題によって: 各コンポーネントマップ（写像）はホメオモーフィズム（位相同形写像）であるので、プロダクトコドメイン（余域）上の各ポイントのプリイメージ（前像）は、コンポーネントマップ（写像）たちのインバース（逆）たち下のイメージ（像）たちのプロダクトであるポイントである、したがって、プロダクトマップ（写像）のインバース（逆）は、コンポーネントマップ（写像）たちのコンティニュアス（連続）インバース（逆）たちのプロダクトである。
トランジション（遷移）マップ（写像）に関しては、\((f \text{ または } g) \circ \phi'_{1, \alpha_1} \times ... \times \phi'_{n, \alpha_n} \circ ((f \text{ または } g) \circ \phi_{1, \alpha_1} \times ... \times \phi_{n, \alpha_n})^{-1} = (f \text{ または } g) \circ \phi'_{1, \alpha_1} \times ... \times \phi'_{n, \alpha_n} \circ ({\phi_{1, \alpha_1}}^{-1} \times ... \times {\phi_{n, \alpha_n}}^{-1} \circ (f \text{ または } g)^{-1})\)、任意のプロダクトマップ（写像）によるプリイメージ（前像）は当該コンポーネントマップ（写像）たちによるプリイメージ（前像）たちのプロダクトであるという命題によって、そして、\(= (f \text{ または } g) \circ (\phi'_{1, \alpha_1} \circ {\phi_{1, \alpha_1}}^{-1}) \times ... \times (\phi'_{n, \alpha_n} \circ {\phi_{n, \alpha_n}}^{-1}) \circ (f \text{ or } g)^{-1}\)、任意のプロダクトマップ（写像）たちのコンポジション（合成）は当該コンポーネントマップ（写像）たちのコンポジション（合成）たちのプロダクトであるという命題によって、それは、\(C^\infty\)、なぜなら、各\(\phi'_{j, \alpha_j} \circ {\phi_{j, \alpha_j}}^{-1}\)は\(C^\infty\)である。
当該チャートたちは\(M_1 \times ... \times M_n\)をカバーする、なぜなら、各\((m_1, ..., m_n) \in M_1 \times ... \times M_n\)に対して、以下を満たすあるチャート\((U_{j, \alpha_j} \subseteq M_j, \phi_{j, \alpha_j}) \in A_j\)、つまり、各\(j \in \{1, ..., n\}\)に対して\(m_j \in U_{j, \alpha_j}\)、そして、\((m_1, ..., m_n) \in U_{1, \alpha_1} \times ... \times U_{n, \alpha_n}\)。
