762: クローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）はより低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちおよびクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアンペース（空間）のプロダクトへホメオモーフィック（位相同形写像）である

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クローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）はより低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちおよびクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアンペース（空間）のプロダクトへホメオモーフィック（位相同形写像）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注
• 4: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空圧式）に対して、任意のベーシス（基底）と任意のサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）はサブスペース（部分空間）に対するベーシス（基底）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、$d$ディメンショナル（次元）クローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）はより低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちおよびクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアンペース（空間）の任意のコンビネーションのプロダクトで、プロダクトのディメンション（次元）が$d$へ等しいものへホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
${\mathbb{H}}^d$: $=\text{ クローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }$、ここで、$d\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$
$({\mathbb{R}}^{d_1},...,{\mathbb{R}}^{d_{n-1}})$: $\in \{\text{ ユークリディアントポロジカルスペース（空間） たちの全てのシーケンスたち }\}$、ここで、$d_j\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$で$\sum _{j\in \{1,...,n-1\}}{d}_j<d$
${\mathbb{H}}^{d_n}$: $=\text{ クローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }$、ここで、$\sum _{j\in \{1,...,n\}}{d}_j=d$
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ステートメント（言明）たち:
${\mathbb{H}}^d\cong {\mathbb{R}}^{d_1}\times ...\times {\mathbb{R}}^{d_n-1}\times {\mathbb{H}}^{d_n}$、ここで、$\cong$はホメオモーフィック（位相同形写像）であることを表わす。
//

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2: 自然言語記述

$d$ディメンショナル（次元）クローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）${\mathbb{H}}^d$、ここで、$d\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$、ユークリディアントポロジカルスペース（空間） たちの任意のシーケンス$({\mathbb{R}}^{d_1},...,{\mathbb{R}}^{d_{n-1}})$、ここで、$d_j\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$で$\sum _{j\in \{1,...,n-1\}}{d}_j<d$、クローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）${\mathbb{H}}^{d_n}$、ここで、$\sum _{j\in \{1,...,n\}}{d}_j=d$に対して、${\mathbb{H}}^d$は${\mathbb{R}}^{d_1}\times ...\times {\mathbb{R}}^{d_{n-1}}\times {\mathbb{H}}^{d_n}$へホメオモーフィック（位相同形写像）である。

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3: 注

広く、${\mathbb{H}}^d$は${\mathbb{R}}^{d_1}\times ...\times {\mathbb{R}}^{d_{n-1}}\times {\mathbb{H}}^{d_n}$と等しいとずさんに言われるだろうが、それらは厳密に同じではない、セット（集合）たちとして。例えば、${\mathbb{H}}^3$上のあるポイントは$(r_1,r_2,r_3)$であるが、${\mathbb{R}}^1\times {\mathbb{H}}^2$上のあるポイントは$(r_1,(r_2,r_3))$である、そして、それら2ポイントたちは異なるものたちである、厳密に言って。それらは、セット（集合）たちとして同じでないので、トポロジカルスペース（空間）たちとして同じであり得ない。したがって、本命題は、2つのトポロジカルスペース（空間）たちはホメオモーフィック（位相同形写像）であると言い、同じであるとは言わない。

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4: 証明

全体戦略: ステップ1: カノニカル（正典）'セット（集合）たち - マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）$f:{\mathbb{H}}^d\to {\mathbb{R}}^{d_1}\times ...\times {\mathbb{R}}^{d_{n-1}}\times {\mathbb{H}}^{d_n}$を定義する; ステップ2: $f$は各ポイント$p\in {\mathbb{H}}^d$においてコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ3: $f^{-1}$は各ポイント$q\in {\mathbb{R}}^{d_1}\times ...\times {\mathbb{R}}^{d_{n-1}}\times {\mathbb{H}}^{d_n}$においてコンティニュアス（連続）であることを見る。

注意として、$h\in {\mathbb{H}}^m$の周りの${\mathbb{H}}^m$上の任意のオープンボール（開球）は$B_{h,ϵ}=\{h^{\prime }\in {\mathbb{H}}^m|dist(h^{\prime },h)<ϵ\}$である、それは、${\mathbb{R}}^m$上のオープンボール（開球）ではないかもしれないが、本当に${\mathbb{H}}^m$上のオープンボール（開球）である。下の証明は、$d$ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、いくつかより低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちの任意のコンビネーションのプロダクトで、プロダクトのディメンション（次元）が$d$へ等しいものへホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題のそれとほとんど同じである: 違いは、${\mathbb{H}}^m$上のオープンボール（開球）たちは必ずしも${\mathbb{R}}^m$上のオープンボール（開球）たちでないことであるが、それらは${\mathbb{H}}^m$上のオープンボール（開球）たちに違いなく、, while the open balls on ${\mathbb{H}}^m$上の全てのオープンボール（開球）たちは${\mathbb{H}}^m$に対するあるベーシス（基底）をなす一方、${\mathbb{R}}^m$上の全てのオープンボール（開球）たちは${\mathbb{R}}^m$に対するあるベーシス（基底）をなす。

ステップ1:

任意のポイント$p\in {\mathbb{H}}^d$を$p=(p^1,...,p^d)$として記そう。

任意のポイント$q\in {\mathbb{R}}^{d_1}\times ...\times {\mathbb{R}}^{d_{n-1}}\times {\mathbb{H}}^{d_n}$を$q=(q^1,...,q^n)$として記そう。

カノニカル（正典）'セット（集合）たち - マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）$f:{\mathbb{H}}^d\to {\mathbb{R}}^{d_1}\times ...\times {\mathbb{R}}^{d_{n-1}}\times {\mathbb{H}}^{d_n},(p^1,...,p^d)\mapsto (q^1=(p^1,...,p^{d_1}),...,q^n=(p^{d_1+...+d_{n-1}+1},...,p^d))$がある、それは本当にバイジェクティブ（全単射）である、なぜなら、以下を満たす各$p,p^{\prime }\in {\mathbb{H}}^d$、つまり、$p\ne p^{\prime }$、に対して、ある$j\in \{1,...,d\}$に対して$p^j\ne p^{\prime j}$である、そして、以下を満たすある$k\in \{1,...,n\}$、つまり、$p^j$は$q^k$内にあり$p^{\prime j}$は$q^{\prime k}$内にある、がある、それが意味するのは、$q^k\ne q^{\prime k}$それが意味するのは、$f(p)\ne f(p^{\prime })$; 各$q=(q^1=(p^1,...,p^{d_1}),...,q^n=(p^{d_1+...+d_{n-1}+1},...,p^d))\in {\mathbb{R}}^{d_1}\times ...\times {\mathbb{R}}^{d_{n-1}}\times {\mathbb{H}}^{d_n}$に対して、$p=(p^1,...,p^d)\in {\mathbb{H}}^d$がある、それが意味するのは、$f(p)=q$。

ステップ2:

$f$は任意のポイント$p=(p^1,...,p^d)\in {\mathbb{H}}^d$においてコンティニュアス（連続）であることを見よう。

$q:=f(p)=(q^1,...,q^n)$としよう。

$N_q\subseteq {\mathbb{R}}^{d_1}\times ...\times {\mathbb{R}}^{d_{n-1}}\times {\mathbb{H}}^{d_n}$は$q$の任意のネイバーフッド（近傍）であるとしよう。$q$の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_q\subseteq {\mathbb{R}}^{d_1}\times ...\times {\mathbb{R}}^{d_{n-1}}\times {\mathbb{H}}^{d_n}$、つまり、$U_q\subseteq N_q$、がある。以下を満たすあるオープン（開）$B_{q^1,{ϵ}_1}\times ...\times B_{q^n,{ϵ}_n}\subseteq {\mathbb{R}}^{d_1}\times ...\times {\mathbb{R}}^{d_{n-1}}\times {\mathbb{H}}^{d_n}$、つまり、$B_{q^1,{ϵ}_1}\times ...\times B_{q^n,{ϵ}_n}\subseteq U_q$、ここで、$B_{q^j,{ϵ}_j}\subseteq {\mathbb{R}}^{d_j}$は$q^j$の周りのオープンボール（開球）である、がある、プロダクトトポロジーの定義によって: 任意のトポロジカルスペース（空圧式）に対して、任意のベーシス（基底）と任意のサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）はサブスペース（部分空間）に対するベーシス（基底）であるという命題を参照のこと、それが含意するのは、${\mathbb{H}}^{d_n}$上の全てのオープンボール（開球）たちは${\mathbb{H}}^{d_n}$に対するベーシス（基底）をなすということ。

$ϵ:=min({ϵ}_1,...,{ϵ}_n)$としよう。

$p$の周りのオープンボール（開球）$B_{p,ϵ}\subseteq {\mathbb{H}}^d$を取ろう。

$f(B_{p,ϵ})\subseteq B_{q^1,{ϵ}_1}\times ...\times B_{q^n,{ϵ}_n}$であることを見よう。

$p^{\prime }=(p^{\prime 1},...,p^{\prime d})\in B_{p,ϵ}$は任意のものであるとしよう。$f(p^{\prime })=(q^{\prime 1}=(p^{\prime 1},...,p^{\prime d_1}),...,q^{\prime n}=(p^{\prime d_1+...+d_{n-1}+1},...,p^{\prime d}))$。$q^{\prime j}\in B_{q^j,{ϵ}_j}$、なぜなら、$\sum _{j\in \{d_1+...+d_{j-1}+1,...,d_1+...+d_{j-1}+d_j\}}(p^{\prime j}-p^j{)}^2\le \sum _{j\in \{1,...,d\}}(p^{\prime j}-p^j{)}^2<{ϵ}^2\le {ϵ}_j^2$。したがって、$f(p^{\prime })\in B_{q^1,{ϵ}_1}\times ...\times B_{q^n,{ϵ}_n}$。したがって、$f(B_{p,ϵ})\subseteq B_{q^1,{ϵ}_1}\times ...\times B_{q^n,{ϵ}_n}$。

したがって、$f(B_{p,ϵ})\subseteq B_{q^1,{ϵ}_1}\times ...\times B_{q^n,{ϵ}_n}\subseteq U_q\subseteq N_q$。

したがって、$f$は$p$においてコンティニュアス（連続）である。

ステップ3:

$f^{-1}$は任意のポイント$q=(q^1=(p^1,...,p^{d_1}),...,q^n=(p^{d_1+...+d_{n-1}+1},...,p^d))\in {\mathbb{R}}^{d_1}\times ...\times {\mathbb{R}}^{d_{n-1}}\times {\mathbb{H}}^{d_n}$においてコンティニュアス（連続）であることを見よう。

$p:=f^{{}^1}(q)=(p^1,...,p^n)$としよう。

$N_p\subseteq {\mathbb{H}}^d$は$p$の任意のネイバーフッド（近傍）であるとしよう。$p$の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq {\mathbb{H}}^d$、つまり、$U_p\subseteq N_p$、がある。以下を満たすあるオープン（開）$B_{p,ϵ}\subseteq {\mathbb{H}}^d$、つまり、$B_{p,ϵ}\subseteq U_p$、ここで、$B_{p,ϵ}\subseteq {\mathbb{H}}^d$は$p$の周りのオープンボール（開球）である、がある。

${ϵ}^{\prime }:=ϵ/\sqrt{n}$としよう。

$q$の周りのオープンボール（開球）$B_{q^1,{ϵ}^{\prime }}\times ...\times B_{q^n,{ϵ}^{\prime }}\subseteq {\mathbb{R}}^{d_1}\times ...\times {\mathbb{R}}^{d_{n-1}}\times {\mathbb{H}}^{d_n}$を取ろう。

$f^{-1}(B_{q^1,{ϵ}^{\prime }}\times ...\times B_{q^n,{ϵ}^{\prime }})\subseteq B_{p,ϵ}$であることを見よう。

$q^{\prime }=(q^{\prime 1}=(p^{\prime 1},...,p^{\prime d_1}),...,q^{\prime n}=(p^{\prime d_1+...+d_{n-1}+1},...,p^{\prime d}))\in B_{q^1,{ϵ}^{\prime }}\times ...\times B_{q^n,{ϵ}^{\prime }}$は任意のものであるとしよう。$p^{\prime }:=f^{-1}(q^{\prime })=(p^{\prime 1},...,p^{\prime d})$。$p^{\prime }\in B_{p,ϵ}$、なぜなら、$\sum _{j\in \{1,...,d\}}(p^{\prime j}-p^j{)}^2=\sum _{j\in \{1,...,d_1\}}(p^{\prime j}-p^j{)}^2+...+\sum _{j\in \{d_1+...+d_{n-1}+1,...,d\}}(p^{\prime j}-p^j{)}^2<{ϵ}^{\prime 2}+...+{ϵ}^{\prime 2}=n{ϵ}^2/n={ϵ}^2$。したがって、$f^{-1}(q^{\prime })\in B_{p,ϵ}$。したがって、$f^{-1}(B_{q^1,{ϵ}^{\prime }}\times ...\times B_{q^n,{ϵ}^{\prime }})\subseteq B_{p,ϵ}$。

したがって、$f^{-1}(B_{q^1,{ϵ}^{\prime }}\times ...\times B_{q^n,{ϵ}^{\prime }})\subseteq B_{p,ϵ}\subseteq U_p\subseteq N_p$。

したがって、$f^{-1}$は$q$においてコンティニュアス（連続）である。

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参考資料

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