753: グループ（群）アクションに対して、グループ（群）要素を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）はバイジェクション（全単射）である

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グループ（群）アクションに対して、グループ（群）要素を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）はバイジェクション（全単射）であることの記述/証明

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話題

About: グループ（群）
About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）アクションの定義を知っている。
• 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のグループ（群）アクションに対して、任意のグループ（群）要素を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）はバイジェクション（全単射）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G$: $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$
$S$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$f$: $:G\times S\to S$, $\in \{\text{ 全てのグループ（群）アクションたち }\}$
$g\in G$
$f_g$: $:S\to S,s\mapsto f(g,s)$
//

ステートメント（言明）たち:
$f_g\in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意のグループ（群）$G$、任意のセット（集合）$S$、任意のグループ（群）アクション$f:G\times S\to S$、任意の要素$g\in G$に対して、$f_g:S\to S,s\mapsto f(g,s)$はバイジェクション（全単射）である。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: 以下を満たす各$s_1,s_2\in S$、つまり、$s_1\ne s_2$、を選ぶ、$f_g(s_1)=f_g(s_2)$であったと仮定し、矛盾を見つける; ステップ2: 各$s\in S$を選び、$f_g(f(g^{-1},s))=s$であることを見る。

ステップ1:

$f_g$はインジェクション（単射）であることを見る。

$s_1,s_2\in S$は$s_1\ne s_2$を満たす任意のものたちとする。

$f_g(s_1)=f_g(s_2)$であったと仮定する。

$g{s}_1=g{s}_2$。$s_1=1s_1=(g^{-1}g)s_1=g^{-1}(g{s}_1)=g^{-1}(g{s}_2)=(g^{-1}g)s_2=1s_2=s_2$、矛盾。

したがって、$f_g(s_1)\ne f_g(s_2)$であり、$f_g$はインジェクション（単射）である。

ステップ2:

$s\in S$は任意のものであるとする。

$f_g(g^{-1}s)=g(g^{-1}s)=(g{g}^{-1})s=1s=s$。

したがって、$f_g$はサージェクション（全射）である。

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参考資料

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