グループ（群）アクションに対して、グループ（群）要素を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）はバイジェクション（全単射）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）アクションの定義を知っている。
- 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）アクションに対して、任意のグループ（群）要素を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）はバイジェクション（全単射）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{ \text{ 全てのグループ（群）たち } \}\)
\(S\): \(\in \{ \text{ 全てのセット（集合）たち } \}\)
\(f\): \(: G \times S \to S\), \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）アクションたち }\}\)
\(g \in G\)
\(f_g\): \(: S \to S, s \mapsto f (g, s)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f_g \in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のグループ（群）\(G\)、任意のセット（集合）\(S\)、任意のグループ（群）アクション\(f: G \times S \to S\)、任意の要素\(g \in G\)に対して、\(f_g: S \to S, s \mapsto f (g, s)\)はバイジェクション（全単射）である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 以下を満たす各\(s_1, s_2 \in S\)、つまり、\(s_1 \neq s_2\)、を選ぶ、\(f_g (s_1) = f_g (s_2)\)であったと仮定し、矛盾を見つける; ステップ2: 各\(s \in S\)を選び、\(f_g (f (g^{-1}, s)) = s\)であることを見る。
ステップ1:
\(f_g\)はインジェクション（単射）であることを見る。
\(s_1, s_2 \in S\)は\(s_1 \neq s_2\)を満たす任意のものたちとする。
\(f_g (s_1) = f_g (s_2)\)であったと仮定する。
\(g s_1 = g s_2\)。\(s_1 = 1 s_1 = (g^{-1} g) s_1 = g^{-1} (g s_1) = g^{-1} (g s_2) = (g^{-1} g) s_2 = 1 s_2 = s_2\)、矛盾。
したがって、\(f_g (s_1) \neq f_g (s_2)\)であり、\(f_g\)はインジェクション（単射）である。
ステップ2:
\(s \in S\)は任意のものであるとする。
\(f_g (g^{-1} s) = g (g^{-1} s) = (g g^{-1}) s = 1 s = s\)。
したがって、\(f_g\)はサージェクション（全射）である。
