ユークリディアントポロジカルスペース（空間）、より低いディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）、スライシングマップ（写像）、プロジェクション（射影）、インクルージョン（単射）に対して、スライシングマップ（写像）の後プロジェクション（射影）の後インクルージョン（単射）はスライシングマップ（写像）に等しく、ポイントのオープンネイバーフッド（開近傍）のスライシングマップ（写像）の後プロジェクション（射影）はポイントのプロジェクション（射影）のオープンネイバーフッド（開近傍）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）、任意のより低いディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）、スライシングマップ（写像）、プロジェクション（射影）、インクルージョン（単射）に対して、スライシングマップ（写像）の後プロジェクション（射影）の後インクルージョン（単射）はスライシングマップ（写像）に等しく、任意のポイントの任意のオープンネイバーフッド（開近傍）のスライシングマップ（写像）の後プロジェクション（射影）は当該ポイントのプロジェクション（射影）のオープンネイバーフッド（開近傍）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}^{d'}\): \(= \text{ } d' \text{ ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(J\): \(\subset \{1, ..., d'\}\) with \(\vert J \vert = d\)
\(\mathbb{R}^d\): \(= \text{ } d \text{ ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(r'\): \(\in \mathbb{R}^{d'}\)
\(\lambda_{J, r'}\): \(: Pow (\mathbb{R}^{d'}) \to Pow (\mathbb{R}^{d'}), S \mapsto \{s \in S \vert \forall j \in \{1, ..., d'\} \setminus J (s^j = r'^j)\}\)、それが、"スライシングマップ（写像）"である
\(\pi_J\): \(: \mathbb{R}^{d'} \to \mathbb{R}^d\)、それは、\(J\)コンポーネントたちを取る、それが、"プロジェクション（射影）"である
\(\tau_{J, r'}\): \(: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^{d'}\)、それは、\(\{1, ..., d'\} \setminus J\)コンポーネントたちを\(r'\)のそれらとして追加する、それが、"インクルージョン（単射）"である
//
ステートメント（言明）たち:
\(\tau_{J, r'} \circ \pi_J \circ \lambda_{J, r'} = \lambda_{J, r'}\)
\(\land\)
\(\forall \epsilon \in \mathbb{R} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 0 \lt \epsilon (\pi_J \circ \lambda_{J, r'} (B_{r', \epsilon}) = B_{\pi_J (r'), \epsilon})\)、ここで、\(B_{\bullet, \bullet}\)は、指定された中心および半径のオープンボール（開球）を表わす
\(\land\)
\(\forall U_{r'} \in \{r' \text{ の } \mathbb{R}^{d'} \text{ 上の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\} (\pi_J \circ \lambda_{J, r'} (U_{r'}) \in \{\pi_J (r') \text{ の } \mathbb{R}^d \text{ 上の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\})\)
//
2: 自然言語記述
\(d'\)ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）\(\mathbb{R}^{d'}\)、以下を満たす任意の\(J \subset \{1, ..., d'\}\)、つまり、\(\vert J \vert = d\)、\(d\)ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）\(\mathbb{R}^d\)、任意のポイント\(r' \in \mathbb{R}^{d'}\)、"スライシングマップ（写像）"\(\lambda_{J, r'}: Pow (\mathbb{R}^{d'}) \to Pow (\mathbb{R}^{d'}), S \mapsto \{s \in S \vert \forall j \in \{1, ..., d'\} \setminus J (s^j = r'^j)\}\)、"プロジェクション（射影）"\(\pi_J: \mathbb{R}^{d'} \to \mathbb{R}^d\)、それは、\(J\)コンポーネントたちを取る、"インクルージョン（単射）"\(\tau_{J, r'}: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^{d'}\)、それは、\(\{1, ..., d'\} \setminus J\)コンポーネントたちを\(r'\)のそれらとして追加するに対して、\(\tau_{J, r'} \circ \pi_J \circ \lambda_{J, r'} = \lambda_{J, r'}\)、\(\forall \epsilon \in \mathbb{R} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 0 \lt \epsilon (\pi_J \circ \lambda_{J, r'} (B_{r', \epsilon}) = B_{\pi_J (r'), \epsilon})\)、ここで、\(B_{\bullet, \bullet}\)は、指定された中心および半径のオープンボール（開球）を表わす、そして、\(\forall U_{r'} \in \{r' \text{ の } \mathbb{R}^{d'} \text{ 上の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち } \} (\pi_J \circ \lambda_{J, r'} (U_{r'}) \in \{\pi_J (r') \text{ の } \mathbb{R}^d \text{ 上の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち } \})\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(S \in Pow (\mathbb{R}^{d'})\)に対して、\(\tau_{J, r'} \circ \pi_J \circ \lambda_{J, r'} (S) = \lambda_{J, r'} (S)\)であることを見る; ステップ2: \(\pi_J \circ \lambda_{J, r'} (B_{r', \epsilon}) = B_{\pi_J (r'), \epsilon}\)であることを見る; ステップ3: see that for each open neighborhood of \(r'\)の各オープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{r'} \subseteq \mathbb{R}^{d'}\)に対して、\(\pi_J \circ \lambda_{J, r'} (U_{r'}) \subseteq \mathbb{R}^d\)は\(r = \pi_J (r')\)のオープンネイバーフッド（開近傍）であることを見る。
ステップ1:
\(S \in Pow (\mathbb{R}^{d'})\)は任意のものとしよう。
\(p \in \tau_{J, r'} \circ \pi_J \circ \lambda_{J, r'} (S)\)は任意のものとしよう。
以下を満たすある\(p' \in \lambda_{J, r'} (S)\)、つまり、\(p = \tau_{J, r'} \circ \pi_J (p')\)、がある。\(p'\)の\(\{1, ..., d'\} \setminus J\)コンポーネントたちは\(r'\)のそれらなので、\(p = \tau_{J, r'} \circ \pi_J (p') = p'\)。したがって、\(p = p' \in \lambda_{J, r'} (S)\)、したがって、\(\tau_{J, r'} \circ \pi_J \circ \lambda_{J, r'} (S) \subseteq \lambda_{J, r'} (S)\)。
\(p \in \lambda_{J, r'} (S)\)は任意のものとする。
\(\tau_{J, r'} \circ \pi_J (p) = p\)、前と同様。したがって、\(p \in \tau_{J, r'} \circ \pi_J \circ \lambda_{J, r'} (S)\)、したがって、\(\lambda_{J, r'} (S) \subseteq \tau_{J, r'} \circ \pi_J \circ \lambda_{J, r'} (S)\)。
したがって、\(\tau_{J, r'} \circ \pi_J \circ \lambda_{J, r'} (S) = \lambda_{J, r'} (S)\)。
\(S\)は任意のものなので、\(\tau_{J, r'} \circ \pi_J \circ \lambda_{J, r'} = \lambda_{J, r'}\)。
ステップ2:
\(\pi_J \circ \lambda_{J, r'} (B_{r', \epsilon}) = B_{\pi_J (r'), \epsilon}\)であることを見よう。
\(p \in \pi_J \circ \lambda_{J, r'} (B_{r', \epsilon})\)は任意のものであるとしよう。
\(\tau_{J, r'} (p) \in \lambda_{J, r'} (B_{r', \epsilon})\)、なぜなら、\(\tau_{J, r'} \circ \pi_J \circ \lambda_{J, r'} (B_{r', \epsilon}) = \lambda_{J, r'} (B_{r', \epsilon})\)である一方、\(\tau_{J, r'} (p) \in \tau_{J, r'} \circ \pi_J \circ \lambda_{J, r'} (B_{r', \epsilon})\)。
したがって、\(\sum_{j \in J} (p^j - r'^j)^2 + \sum_{j \in \{1, ..., d'\} \setminus J} (r'^j - r'^j)^2 = \sum_{j \in J} (p^j - r'^j)^2 \lt \epsilon^2\)。それが意味するのは、\(p \in B_{\pi_J (r'), \epsilon}\)。
したがって、\(\pi_J \circ \lambda_{J, r'} (B_{r', \epsilon}) \subseteq B_{\pi_J (r'), \epsilon}\)。
\(p \in B_{\pi_J (r'), \epsilon}\)は任意のものであるとしよう。
\(\sum_{j \in J} (p^j - r'^j)^2 \lt \epsilon^2\)。
\(\tau_{J, r'} (p) \in B_{r', \epsilon}\)、なぜなら、\(\sum_{j \in J} (p^j - r'^j)^2 + \sum_{j \in \{1, ..., d'\} \setminus J} (r'^j - r'^j)^2 = \sum_{j \in J} (p^j - r'^j)^2 \lt \epsilon^2\)。
\(\tau_{J, r'} (p) \in \lambda_{J, r'} (B_{r', \epsilon})\)、なぜなら、\(\tau_{J, r'} (p)\)の\(\{1, ..., d'\} \setminus J\)コンポーネントたちは\(r'\)のそれらである。したがって、\(\pi_J \circ \tau_{J, r'} (p) \in \pi_J \circ \lambda_{J, r'} (B_{r', \epsilon})\)、しかし、\(\pi_J \circ \tau_{J, r'} (p) = p\)、したがって、\(p \in \pi_J \circ \lambda_{J, r'} (B_{r', \epsilon})\)。
したがって、\(B_{\pi_J (r'), \epsilon} \subseteq \pi_J \circ \lambda_{J, r'} (B_{r', \epsilon})\)。
したがって、\(\pi_J \circ \lambda_{J, r'} (B_{r', \epsilon}) = B_{\pi_J (r'), \epsilon}\)。
ステップ3:
\(r'\)の各オープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{r'} \subseteq \mathbb{R}^{d'}\)に対して、\(\pi_J \circ \lambda_{J, r'} (U_{r'}) \subseteq \mathbb{R}^d\)は\(r = \pi_J (r')\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である。
ステップ3戦略: 各\(p \in \pi_J \circ \lambda_{J, r'} (U_{r'})\)の周りに、あるオープンボール（開球）で\(\pi_J \circ \lambda_{J, r'} (U_{r'})\)内に包含されているものを選ぶ、\(p' := \tau_{J, r'} (p)\)の周りにあるオープンボール（開球）で\(U_{r'}\)に包含されているものを選び、当該オープンボール（開球）の\(\pi_J \circ \lambda_{J, p'}\)下のイメージ（像）を取ることによって。
\(r \in \pi_J \circ \lambda_{J, r'} (U_{r'})\)、なぜなら、\(r' \in U_{r'}\)、\(r' \in \lambda_{J, r'} (U_{r'})\)、なぜなら、 use the components of \(r'\)の\(\{1, ..., d'\}\)コンポーネントたちは\(r'\)のそれらである、そして、\(r \in \pi_J \circ \lambda_{J, r'} (U_{r'})\)。
\(p \in \pi_J \circ \lambda_{J, r'} (U_{r'})\)は任意のものであるとしよう。
\(p' := \tau_{J, r'} (p) \in \lambda_{J, r'} (U_{r'}) \subseteq U_{r'}\)、なぜなら、\(p' \in \tau_{J, r'} \circ \pi_J \circ \lambda_{J, r'} (U_{r'}) = \lambda_{J, r'} (U_{r'})\)。
\(U_{r'}\)はオープン（開）であるから、 以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{p', \epsilon} \subseteq \mathbb{R}^{d'}\)、つまり、\(B_{p', \epsilon} \subseteq U_{r'}\)、がある。.
\(\pi_J \circ \lambda_{J, p'} (B_{p', \epsilon}) = B_{\pi_J (p'), \epsilon} = B_{p, \epsilon}\)。
\(B_{p, \epsilon} = \pi_J \circ \lambda_{J, p'} (B_{p', \epsilon}) \subseteq \pi_J \circ \lambda_{J, p'} (U_{r'})\)。
しかし、\(\pi_J \circ \lambda_{J, p'} (U_{r'}) = \pi_J \circ \lambda_{J, r'} (U_{r'})\)、なぜなら、\(p'\)の\(\{1, ..., d'\} \setminus J\)コンポーネントたちは\(r'\)の\(\{1, ..., d'\} \setminus J\)コンポーネントたちに等しく、\(\lambda_{J, p'}\)は\(p'\)の\(\{1, ..., d'\} \setminus J\)コンポーネントたちのみに依存する。
したがって、\(B_{p, \epsilon} \subseteq \pi_J \circ \lambda_{J, r'} (U_{r'})\)。
したがって、\(\pi_J \circ \lambda_{J, r'} (U_{r'})\)は\(r\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である。
