754: ユークリディアントポロジカルスペース（空間）、より低いディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）、スライシングマップ（写像）、プロジェクション（射影）、インクルージョン（単射）に対して、スライシングマップ（写像）の後プロジェクション（射影）の後インクルージョン（単射）はスライシングマップ（写像）に等しく、ポイントのオープンネイバーフッド（開近傍）のスライシングマップ（写像）の後プロジェクション（射影）はポイントのプロジェクション（射影）のオープンネイバーフッド（開近傍）である

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ユークリディアントポロジカルスペース（空間）、より低いディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）、スライシングマップ（写像）、プロジェクション（射影）、インクルージョン（単射）に対して、スライシングマップ（写像）の後プロジェクション（射影）の後インクルージョン（単射）はスライシングマップ（写像）に等しく、ポイントのオープンネイバーフッド（開近傍）のスライシングマップ（写像）の後プロジェクション（射影）はポイントのプロジェクション（射影）のオープンネイバーフッド（開近傍）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）、任意のより低いディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）、スライシングマップ（写像）、プロジェクション（射影）、インクルージョン（単射）に対して、スライシングマップ（写像）の後プロジェクション（射影）の後インクルージョン（単射）はスライシングマップ（写像）に等しく、任意のポイントの任意のオープンネイバーフッド（開近傍）のスライシングマップ（写像）の後プロジェクション（射影）は当該ポイントのプロジェクション（射影）のオープンネイバーフッド（開近傍）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
${\mathbb{R}}^{d^{\prime }}$: $=d^{\prime }\text{ ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }$
$J$: $\subset \{1,...,d^{\prime }\}$ with $|J|=d$
${\mathbb{R}}^d$: $=d\text{ ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }$
$r^{\prime }$: $\in {\mathbb{R}}^{d^{\prime }}$
${\lambda }_{J,r^{\prime }}$: $:Pow({\mathbb{R}}^{d^{\prime }})\to Pow({\mathbb{R}}^{d^{\prime }}),S\mapsto \{s\in S|\mathrm{\forall }j\in \{1,...,d^{\prime }\}\setminus J(s^j=r^{\prime j})\}$、それが、"スライシングマップ（写像）"である
${\pi }_J$: $:{\mathbb{R}}^{d^{\prime }}\to {\mathbb{R}}^d$、それは、$J$コンポーネントたちを取る、それが、"プロジェクション（射影）"である
${\tau }_{J,r^{\prime }}$: $:{\mathbb{R}}^d\to {\mathbb{R}}^{d^{\prime }}$、それは、$\{1,...,d^{\prime }\}\setminus J$コンポーネントたちを$r^{\prime }$のそれらとして追加する、それが、"インクルージョン（単射）"である
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ステートメント（言明）たち:
${\tau }_{J,r^{\prime }}\circ {\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}={\lambda }_{J,r^{\prime }}$
$\wedge$
$\mathrm{\forall }ϵ\in \mathbb{R}\text{ で、以下を満たすもの、つまり、 }0<ϵ({\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}(B_{r^{\prime },ϵ})=B_{{\pi }_J(r^{\prime }),ϵ})$、ここで、$B_{\bullet ,\bullet }$は、指定された中心および半径のオープンボール（開球）を表わす
$\wedge$
$\mathrm{\forall }{U}_{r^{\prime }}\in \{r^{\prime }\text{ の }{\mathbb{R}}^{d^{\prime }}\text{ 上の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\}({\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}(U_{r^{\prime }})\in \{{\pi }_J(r^{\prime })\text{ の }{\mathbb{R}}^d\text{ 上の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\})$
//

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2: 自然言語記述

$d^{\prime }$ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）${\mathbb{R}}^{d^{\prime }}$、以下を満たす任意の$J\subset \{1,...,d^{\prime }\}$、つまり、$|J|=d$、$d$ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）${\mathbb{R}}^d$、任意のポイント$r^{\prime }\in {\mathbb{R}}^{d^{\prime }}$、"スライシングマップ（写像）"${\lambda }_{J,r^{\prime }}:Pow({\mathbb{R}}^{d^{\prime }})\to Pow({\mathbb{R}}^{d^{\prime }}),S\mapsto \{s\in S|\mathrm{\forall }j\in \{1,...,d^{\prime }\}\setminus J(s^j=r^{\prime j})\}$、"プロジェクション（射影）"${\pi }_J:{\mathbb{R}}^{d^{\prime }}\to {\mathbb{R}}^d$、それは、$J$コンポーネントたちを取る、"インクルージョン（単射）"${\tau }_{J,r^{\prime }}:{\mathbb{R}}^d\to {\mathbb{R}}^{d^{\prime }}$、それは、$\{1,...,d^{\prime }\}\setminus J$コンポーネントたちを$r^{\prime }$のそれらとして追加するに対して、${\tau }_{J,r^{\prime }}\circ {\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}={\lambda }_{J,r^{\prime }}$、$\mathrm{\forall }ϵ\in \mathbb{R}\text{ で、以下を満たすもの、つまり、 }0<ϵ({\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}(B_{r^{\prime },ϵ})=B_{{\pi }_J(r^{\prime }),ϵ})$、ここで、$B_{\bullet ,\bullet }$は、指定された中心および半径のオープンボール（開球）を表わす、そして、$\mathrm{\forall }{U}_{r^{\prime }}\in \{r^{\prime }\text{ の }{\mathbb{R}}^{d^{\prime }}\text{ 上の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\}({\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}(U_{r^{\prime }})\in \{{\pi }_J(r^{\prime })\text{ の }{\mathbb{R}}^d\text{ 上の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\})$。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: 各$S\in Pow({\mathbb{R}}^{d^{\prime }})$に対して、${\tau }_{J,r^{\prime }}\circ {\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}(S)={\lambda }_{J,r^{\prime }}(S)$であることを見る; ステップ2: ${\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}(B_{r^{\prime },ϵ})=B_{{\pi }_J(r^{\prime }),ϵ}$であることを見る; ステップ3: see that for each open neighborhood of $r^{\prime }$の各オープンネイバーフッド（開近傍）$U_{r^{\prime }}\subseteq {\mathbb{R}}^{d^{\prime }}$に対して、${\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}(U_{r^{\prime }})\subseteq {\mathbb{R}}^d$は$r={\pi }_J(r^{\prime })$のオープンネイバーフッド（開近傍）であることを見る。

ステップ1:

$S\in Pow({\mathbb{R}}^{d^{\prime }})$は任意のものとしよう。

$p\in {\tau }_{J,r^{\prime }}\circ {\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}(S)$は任意のものとしよう。

以下を満たすある$p^{\prime }\in {\lambda }_{J,r^{\prime }}(S)$、つまり、$p={\tau }_{J,r^{\prime }}\circ {\pi }_J(p^{\prime })$、がある。$p^{\prime }$の$\{1,...,d^{\prime }\}\setminus J$コンポーネントたちは$r^{\prime }$のそれらなので、$p={\tau }_{J,r^{\prime }}\circ {\pi }_J(p^{\prime })=p^{\prime }$。したがって、$p=p^{\prime }\in {\lambda }_{J,r^{\prime }}(S)$、したがって、${\tau }_{J,r^{\prime }}\circ {\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}(S)\subseteq {\lambda }_{J,r^{\prime }}(S)$。

$p\in {\lambda }_{J,r^{\prime }}(S)$は任意のものとする。

${\tau }_{J,r^{\prime }}\circ {\pi }_J(p)=p$、前と同様。したがって、$p\in {\tau }_{J,r^{\prime }}\circ {\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}(S)$、したがって、${\lambda }_{J,r^{\prime }}(S)\subseteq {\tau }_{J,r^{\prime }}\circ {\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}(S)$。

したがって、${\tau }_{J,r^{\prime }}\circ {\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}(S)={\lambda }_{J,r^{\prime }}(S)$。

$S$は任意のものなので、${\tau }_{J,r^{\prime }}\circ {\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}={\lambda }_{J,r^{\prime }}$。

ステップ2:

${\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}(B_{r^{\prime },ϵ})=B_{{\pi }_J(r^{\prime }),ϵ}$であることを見よう。

$p\in {\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}(B_{r^{\prime },ϵ})$は任意のものであるとしよう。

${\tau }_{J,r^{\prime }}(p)\in {\lambda }_{J,r^{\prime }}(B_{r^{\prime },ϵ})$、なぜなら、${\tau }_{J,r^{\prime }}\circ {\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}(B_{r^{\prime },ϵ})={\lambda }_{J,r^{\prime }}(B_{r^{\prime },ϵ})$である一方、${\tau }_{J,r^{\prime }}(p)\in {\tau }_{J,r^{\prime }}\circ {\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}(B_{r^{\prime },ϵ})$。

したがって、$\sum _{j\in J}(p^j-r^{\prime j}{)}^2+\sum _{j\in \{1,...,d^{\prime }\}\setminus J}(r^{\prime j}-r^{\prime j}{)}^2=\sum _{j\in J}(p^j-r^{\prime j}{)}^2<{ϵ}^2$。それが意味するのは、$p\in B_{{\pi }_J(r^{\prime }),ϵ}$。

したがって、${\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}(B_{r^{\prime },ϵ})\subseteq B_{{\pi }_J(r^{\prime }),ϵ}$。

$p\in B_{{\pi }_J(r^{\prime }),ϵ}$は任意のものであるとしよう。

$\sum _{j\in J}(p^j-r^{\prime j}{)}^2<{ϵ}^2$。

${\tau }_{J,r^{\prime }}(p)\in B_{r^{\prime },ϵ}$、なぜなら、$\sum _{j\in J}(p^j-r^{\prime j}{)}^2+\sum _{j\in \{1,...,d^{\prime }\}\setminus J}(r^{\prime j}-r^{\prime j}{)}^2=\sum _{j\in J}(p^j-r^{\prime j}{)}^2<{ϵ}^2$。

${\tau }_{J,r^{\prime }}(p)\in {\lambda }_{J,r^{\prime }}(B_{r^{\prime },ϵ})$、なぜなら、${\tau }_{J,r^{\prime }}(p)$の$\{1,...,d^{\prime }\}\setminus J$コンポーネントたちは$r^{\prime }$のそれらである。したがって、${\pi }_J\circ {\tau }_{J,r^{\prime }}(p)\in {\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}(B_{r^{\prime },ϵ})$、しかし、${\pi }_J\circ {\tau }_{J,r^{\prime }}(p)=p$、したがって、$p\in {\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}(B_{r^{\prime },ϵ})$。

したがって、$B_{{\pi }_J(r^{\prime }),ϵ}\subseteq {\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}(B_{r^{\prime },ϵ})$。

したがって、${\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}(B_{r^{\prime },ϵ})=B_{{\pi }_J(r^{\prime }),ϵ}$。

ステップ3:

$r^{\prime }$の各オープンネイバーフッド（開近傍）$U_{r^{\prime }}\subseteq {\mathbb{R}}^{d^{\prime }}$に対して、${\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}(U_{r^{\prime }})\subseteq {\mathbb{R}}^d$は$r={\pi }_J(r^{\prime })$のオープンネイバーフッド（開近傍）である。

ステップ3戦略: 各$p\in {\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}(U_{r^{\prime }})$の周りに、あるオープンボール（開球）で${\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}(U_{r^{\prime }})$内に包含されているものを選ぶ、$p^{\prime }:={\tau }_{J,r^{\prime }}(p)$の周りにあるオープンボール（開球）で$U_{r^{\prime }}$に包含されているものを選び、当該オープンボール（開球）の${\pi }_J\circ {\lambda }_{J,p^{\prime }}$下のイメージ（像）を取ることによって。

$r\in {\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}(U_{r^{\prime }})$、なぜなら、$r^{\prime }\in U_{r^{\prime }}$、$r^{\prime }\in {\lambda }_{J,r^{\prime }}(U_{r^{\prime }})$、なぜなら、　　　use the components of $r^{\prime }$の$\{1,...,d^{\prime }\}$コンポーネントたちは$r^{\prime }$のそれらである、そして、$r\in {\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}(U_{r^{\prime }})$。

$p\in {\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}(U_{r^{\prime }})$は任意のものであるとしよう。

$p^{\prime }:={\tau }_{J,r^{\prime }}(p)\in {\lambda }_{J,r^{\prime }}(U_{r^{\prime }})\subseteq U_{r^{\prime }}$、なぜなら、$p^{\prime }\in {\tau }_{J,r^{\prime }}\circ {\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}(U_{r^{\prime }})={\lambda }_{J,r^{\prime }}(U_{r^{\prime }})$。

$U_{r^{\prime }}$はオープン（開）であるから、 以下を満たすあるオープンボール（開球）$B_{p^{\prime },ϵ}\subseteq {\mathbb{R}}^{d^{\prime }}$、つまり、$B_{p^{\prime },ϵ}\subseteq U_{r^{\prime }}$、がある。.

${\pi }_J\circ {\lambda }_{J,p^{\prime }}(B_{p^{\prime },ϵ})=B_{{\pi }_J(p^{\prime }),ϵ}=B_{p,ϵ}$。

$B_{p,ϵ}={\pi }_J\circ {\lambda }_{J,p^{\prime }}(B_{p^{\prime },ϵ})\subseteq {\pi }_J\circ {\lambda }_{J,p^{\prime }}(U_{r^{\prime }})$。

しかし、${\pi }_J\circ {\lambda }_{J,p^{\prime }}(U_{r^{\prime }})={\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}(U_{r^{\prime }})$、なぜなら、$p^{\prime }$の$\{1,...,d^{\prime }\}\setminus J$コンポーネントたちは$r^{\prime }$の$\{1,...,d^{\prime }\}\setminus J$コンポーネントたちに等しく、${\lambda }_{J,p^{\prime }}$は$p^{\prime }$の$\{1,...,d^{\prime }\}\setminus J$コンポーネントたちのみに依存する。

したがって、$B_{p,ϵ}\subseteq {\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}(U_{r^{\prime }})$。

したがって、${\pi }_J\circ {\lambda }_{J,r^{\prime }}(U_{r^{\prime }})$は$r$のオープンネイバーフッド（開近傍）である。

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参考資料

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