772: マップ（写像）はバイジェクション（全単射）である、もしも、コドメイン（余域）ポイントのプリイメージ（前像）が1ポイントサブセット（部分集合）である場合、そして、その場合に限って

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マップ（写像）はバイジェクション（全単射）である、もしも、コドメイン（余域）ポイントのプリイメージ（前像）が1ポイントサブセット（部分集合）である場合、そして、その場合に限って、ことの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述1
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のマップ（写像）はバイジェクション（全単射）である、もしも、コドメイン（余域）ポイントのプリイメージ（前像）が1ポイントサブセット（部分集合）である場合、そして、その場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$S_1$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$S_2$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$f$: $:S_1\to S_2$
//

ステートメント（言明）たち:
$f\in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}$
$⟺$
$\mathrm{\forall }s\in S_2(|f^{-1}(s)|=1)$、ここで、$|\bullet |$は、当該セット（集合）のカーディナリティ（濃度）である
//

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2: 自然言語記述1

任意のセット（集合）たち$S_1,S_2$、任意のマップ（写像）$f:S_1\to S_2$に対して、$f$はバイジェクション（全単射）である、もしも、各$s\in S_2$に対して、$|f^{-1}(s)|=1$である場合、そしてその場合に限って。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $f$はバイジェクション（全単射）であると仮定し、$|f^{-1}(s)|=1$であることを見る; ステップ2: $|f^{-1}(s)|=1$であると仮定し、$f$はバイジェクション（全単射）であることを見る。

ステップ1:

$f$はバイジェクション（全単射）であると仮定しよう。

$s\in S_2$は任意のものとしよう。

$f^{-1}(s)\ne \mathrm{\varnothing }$、なぜなら、$f$はサージェクティブ（全射）であるから、$S_1$内に$s$へマップされる少なくとも1つのポイントがある、それが意味するのは、$0<|f^{-1}(s)|$。$|f^{-1}(s)|<2$、なぜなら、もしも、$2\le |f^{-1}(s)|$であれば、以下を満たす何らかの$s_1,s_2\in S_1$、つまり、$f(s_1)=f(s_2)=s$、があることになる、$f$がインジェクティブ（単射）であることに反する矛盾。したがって、$0<|f^{-1}(s)|<2$、それが含意するのは、$|f^{-1}(s)|=1$。

ステップ2:

各$s\in S_2$に対して、$|f^{-1}(s)|=1$であると仮定しよう。

$f$はサージェクティブ（全射）である、なぜなら、$S_1$内に$s$へマップされる少なくとも1つのポイントがある。$f$はインジェクティブ（単射）である、なぜなら、もしも、何らかの$s_1,s_2\in S_1$で$f(s_1)=f(s_2)$を満たすものがあったら、$2\le |f^{-1}(f(s_1))|$、$s=f(s_1)=f(s_2)$に対する$|f^{-1}(s)|=1$に反する矛盾。したがって、$f$はバイジェクション（全単射）である。

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参考資料

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