マップ（写像）はバイジェクション（全単射）である、もしも、コドメイン（余域）ポイントのプリイメージ（前像）が1ポイントサブセット（部分集合）である場合、そして、その場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のマップ（写像）はバイジェクション（全単射）である、もしも、コドメイン（余域）ポイントのプリイメージ（前像）が1ポイントサブセット（部分集合）である場合、そして、その場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S_1\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S_2\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(f\): \(: S_1 \to S_2\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}\)
\(\iff\)
\(\forall s \in S_2 (\vert f^{-1} (s) \vert = 1)\)、ここで、\(\vert \bullet \vert\)は、当該セット（集合）のカーディナリティ（濃度）である
//
2: 自然言語記述1
任意のセット（集合）たち\(S_1, S_2\)、任意のマップ（写像）\(f: S_1 \to S_2\)に対して、\(f\)はバイジェクション（全単射）である、もしも、各\(s \in S_2\)に対して、\(\vert f^{-1} (s) \vert = 1\)である場合、そしてその場合に限って。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f\)はバイジェクション（全単射）であると仮定し、\(\vert f^{-1} (s) \vert = 1\)であることを見る; ステップ2: \(\vert f^{-1} (s) \vert = 1\)であると仮定し、\(f\)はバイジェクション（全単射）であることを見る。
ステップ1:
\(f\)はバイジェクション（全単射）であると仮定しよう。
\(s \in S_2\)は任意のものとしよう。
\(f^{-1} (s) \neq \emptyset\)、なぜなら、\(f\)はサージェクティブ（全射）であるから、\(S_1\)内に\(s\)へマップされる少なくとも1つのポイントがある、それが意味するのは、\(0 \lt \vert f^{-1} (s) \vert\)。\(\vert f^{-1} (s) \vert \lt 2\)、なぜなら、もしも、\(2 \le \vert f^{-1} (s) \vert\)であれば、以下を満たす何らかの\(s_1, s_2 \in S_1\)、つまり、\(f (s_1) = f (s_2) = s\)、があることになる、\(f\)がインジェクティブ（単射）であることに反する矛盾。したがって、\(0 \lt \vert f^{-1} (s) \vert \lt 2\)、それが含意するのは、\(\vert f^{-1} (s) \vert = 1\)。
ステップ2:
各\(s \in S_2\)に対して、\(\vert f^{-1} (s) \vert = 1\)であると仮定しよう。
\(f\)はサージェクティブ（全射）である、なぜなら、\(S_1\)内に\(s\)へマップされる少なくとも1つのポイントがある。\(f\)はインジェクティブ（単射）である、なぜなら、もしも、何らかの\(s_1, s_2 \in S_1\)で\(f (s_1) = f (s_2)\)を満たすものがあったら、\(2 \le \vert f^{-1} (f (s_1) ) \vert\)、\(s = f (s_1) = f (s_2)\)に対する\(\vert f^{-1} (s) \vert = 1\)に反する矛盾。したがって、\(f\)はバイジェクション（全単射）である。
