メトリックスペース（計量付き空間）上のポイントの周りのオープンボール（開球）の定義
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のポイントの周りのオープンボール（開球）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( T\): \(\in \{ \text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち } \}\)
\( t\): \(\in T\)
\( \epsilon\): \(\in \mathbb{R} \setminus \{0\}\)
\(*B_{t, \epsilon}\): \(= \{t' \in T \vert dist (t, t') \lt \epsilon\}\)
//
コンディションたち:
//
2: 自然言語記述1
任意のメトリックスペース（計量付き空間）\(T\)、任意のポイント\(t \in T\)、任意の\(\epsilon \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\)に対して、サブセット（部分集合）\(B_{t, \epsilon} = \{t' \in T \vert dist (t, t') \lt \epsilon\} \subseteq T\)
3: 注
当該オープンボール（開球）は、必ずしも、各\(r \lt \epsilon\)に対して、\(dist (t, p) = r\)であるあるポイント\(p \in B_{t, \epsilon}\)があることを意味しないが、それでよいのである。
あるサブスペース（部分空間）\(T \subseteq \mathbb{R}^d\)（\(\mathbb{R}^d\)はユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）とみなされている）、あるポイント\(t \in T\)、ある\(\epsilon\)に対して、\(B_{t, \epsilon}\)は\(\mathbb{R}^d\)上でのオープンボール（開球）ではないかもしれない、しかし、それは、\(T\)上のオープンボール（開球）である、問題なく: \(T\)上のオープンボール（開球）は\(\mathbb{R}^d\)上のオープンボール（開球）である必要はない。
ユークリディアントポロジカルスペース（空間）\(\mathbb{R}^d\)上のオープンボール（開球）たちは、ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）\(\mathbb{R}^d\)上のオーブンボール（開球）たちに厳密に等しい。
