773: メトリックスペース（計量付き空間）上のポイントの周りのオープンボール（開球）

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メトリックスペース（計量付き空間）上のポイントの周りのオープンボール（開球）の定義

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話題

About: メトリックスペース（計量付き空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述1
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のポイントの周りのオープンボール（開球）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T$: $\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}$
$t$: $\in T$
$ϵ$: $\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$
$\ast B_{t,ϵ}$: $=\{t^{\prime }\in T|dist(t,t^{\prime })<ϵ\}$
//

コンディションたち:
//

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2: 自然言語記述1

任意のメトリックスペース（計量付き空間）$T$、任意のポイント$t\in T$、任意の$ϵ\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$に対して、サブセット（部分集合）$B_{t,ϵ}=\{t^{\prime }\in T|dist(t,t^{\prime })<ϵ\}\subseteq T$

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3: 注

当該オープンボール（開球）は、必ずしも、各$r<ϵ$に対して、$dist(t,p)=r$であるあるポイント$p\in B_{t,ϵ}$があることを意味しないが、それでよいのである。

あるサブスペース（部分空間）$T\subseteq {\mathbb{R}}^d$（${\mathbb{R}}^d$はユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）とみなされている）、あるポイント$t\in T$、ある$ϵ$に対して、$B_{t,ϵ}$は${\mathbb{R}}^d$上でのオープンボール（開球）ではないかもしれない、しかし、それは、$T$上のオープンボール（開球）である、問題なく: $T$上のオープンボール（開球）は${\mathbb{R}}^d$上のオープンボール（開球）である必要はない。

ユークリディアントポロジカルスペース（空間）${\mathbb{R}}^d$上のオープンボール（開球）たちは、ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）${\mathbb{R}}^d$上のオーブンボール（開球）たちに厳密に等しい。

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参考資料

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