771: C∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェントベクトルは、C∞カーブのベロシティーである、特に、ハーフクローズド（半閉）インターバル（空間）からのカーブ、特に、コーディネート（座標）たちにおいてリニア（線形）なカーブ

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$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェントベクトルは、$C^{\mathrm{\infty }}$カーブのベロシティーである、特に、ハーフクローズド（半閉）インターバル（空間）からのカーブ、特に、コーディネート（座標）たちにおいてリニア（線形）なカーブの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注
• 4: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、タンジェント（接）ベクトルの定義を知っている。
• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の、$C^{\mathrm{\infty }}$カーブのポイントにおけるベロシティの定義を知っている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、任意のチャートに対して、当該チャートドメイン（定義域）上の各ポイントにおけるタンジェントベクトルたちスペース（空間）に対するスタンダードベーシス（基底）は本当にベーシス（基底）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の任意のポイントにおける任意のタンジェントベクトルは、ある$C^{\mathrm{\infty }}$カーブのベロシティーである、特に、あるハーフクローズド（半閉）インターバル（空間）からのカーブ、特に、コーディネート（座標）たちにおいてリニア（線形）なカーブ、という命題を認めている。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ ディメンショナル（次元） }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）たち、バウンダリー（境界）付き }\}$
$m$: $\in M$
$v$: $\in T_{m}M$
$\mathbb{R}$: $=\text{ ユークリディアン }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体） }$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\exists }J=[t_0,t_2)\text{ または }(t_1,t_0]\subseteq \mathbb{R},\mathrm{\exists }\gamma :J\to M\in \{M\text{ 上の全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ カーブたち }\}(v=d\gamma (d/dt{|}_{t_0}))$
$\wedge$
特に、$\gamma$は$t\mapsto {{\varphi }_m}^{-1}(({\varphi }_m(m{)}^1+v^1(t-t_0),...,{\varphi }_m(m{)}^d+v^d(t-t_0)))$、ここで、$(U_m\subseteq M,{\varphi }_m)$は$m$の周りの任意のチャートで、$v^j$たちは、$v$の、当該チャートに対するスタンダードベーシス（基底）に関するコンポーネントたちである
//

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2: 自然言語記述

任意の$d$ディメンショナル（次元）$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き$M$、任意のポイント$m\in M$、$m$における任意のタンジェントベクトル$v\in T_{m}M$に対して、以下を満たすあるインターバル（区間）$J=[t_0,t_2)\text{ または }(t_1,t_0]\subseteq \mathbb{R}$およびある$C^{\mathrm{\infty }}$カーブ$\gamma :J\to M$、つまり、$v=d\gamma (d/dt{|}_{t_0})$、がある、また特に、$\gamma$は$t\mapsto {{\varphi }_m}^{-1}(({\varphi }_m(m{)}^1+v^1(t-t_0),...,{\varphi }_m(m{)}^d+v^d(t-t_0)))$、ここで、$(U_m\subseteq M,{\varphi }_m)$は$m$の周りの任意のチャートであり、$v^j$たちは、$v$の、当該チャートに対するスタンダードベーシス（基底）に関するコンポーネントたちである、であるように取ることができる。

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3: 注

非オープン（開）インターバル（区間）を選ぶことの1つの目的は、全てのケースたちに適用できるようにあることである: $m$がバウンダリー（境界）ポイントである時は、オープンインターバル（開区間）からのカーブを選ぶことはできないかもしれない。

勿論、$J$がオープンインターバル（開区間）であり得る（もしも、あなたが望むのであれば）ケースたちもある。

別の目的は、$f\in C^{\mathrm{\infty }}(M)$の値たちが$vf$を左右する領域を狭めることである: $\gamma$を$t\mapsto {{\varphi }_m}^{-1}(({\varphi }_m(m{)}^1+v^1(t-t_0),...,{\varphi }_m(m{)}^d+v^d(t-t_0)))$、ここで、$0\le v^d(t-t_0)$、と取ることができるので、$vf$は、$f$の、チャートドメイン（定義域）の上半分（いわば）のみの値たちに依存する（$m$がバウンダリー（境界）ポイントでない時も）。

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4: 証明

全体戦略: ステップ1: $m$の周りの任意のチャート$(U_m\subseteq M,{\varphi }_m)$を選ぶ; ステップ2: $v$を$v^j\partial /\partial x^j$として表わす; ステップ3: ある$J=[t_0,t_2)\text{ または }(t_1,t_0]$を選ぶ、$0\le v^j$または$v^j<0$によって、そして、$\gamma$を$t\mapsto {{\varphi }_m}^{-1}(({\varphi }_m(m{)}^1+v^1(t-t_0),...,{\varphi }_m(m{)}^d+v^d(t-t_0)))$として選ぶ; ステップ4: $v=d\gamma (d/dt{|}_{t_0})$であることを見る; ステップ5: いくつかの所見たちを述べる。

ステップ1:

$m$の周りの任意のチャート$(U_m\subseteq M,{\varphi }_m)$を選ぶ。

$x=(x^1,...,x^d)$は、${\varphi }_m(U_m)$上のコーディネート（座標）たちとする。

ステップ2:

$v=v^j\partial /\partial x^j$、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、任意のチャートに対して、当該チャートドメイン（定義域）上の各ポイントにおけるタンジェントベクトルたちスペース（空間）に対するスタンダードベーシス（基底）は本当にベーシス（基底）であるという命題によって。

ステップ3:

$t_0\in \mathbb{R}$を恣意的に選ぼう。

$0\le v^d$である時、以下を満たす任意の$t_2$、つまり、$t_0<t_2$および各$t\in [t_0,t_2)$に対して$({\varphi }_m(m{)}^1+v^1(t-t_0),...,{\varphi }_m(m{)}^d+v^d(t-t_0))\in {\varphi }_m(U_m)$、を選ぼう、それは可能である、なぜなら、以下を満たすあるオープンボール（開球）$B_{{\varphi }_m(m),ϵ}\subseteq \mathbb{R}\text{ または }\mathbb{H}$、つまり、$B_{{\varphi }_m(m),ϵ}\subseteq {\varphi }_m(U_m)$、があり、ある十分小さい$t_2-t_0$を選ぶことによって、$({\varphi }_m(m{)}^1+v^1(t-t_0),...,{\varphi }_m(m{)}^d+v^d(t-t_0))\in B_{{\varphi }_m(m),ϵ}$: $0\le v^d(t-t_0)$、したがって、$m$がバウンダリー（境界）ポイントである時も、それは成立する。

$v^d<0$である時、以下を満たす任意の$t_1$、つまり、$t_1<t_0$および各$t\in (t_1,t_0]$に対して$({\varphi }_m(m{)}^1+v^1(t-t_0),...,{\varphi }_m(m{)}^d+v^d(t-t_0))\in {\varphi }_m(U_m)$、を選ぼう、それは可能である、なぜなら、以下を満たすあるオープンボール（開球）$B_{{\varphi }_m(m),ϵ}\subseteq \mathbb{R}\text{ or }\mathbb{H}$、つまり、$B_{{\varphi }_m(m),ϵ}\subseteq {\varphi }_m(U_m)$、があり、ある十分小さい$t_0-t_1$を選ぶことによって、$({\varphi }_m(m{)}^1+v^1(t-t_0),...,{\varphi }_m(m{)}^d+v^d(t-t_0))\in B_{{\varphi }_m(m),ϵ}$: $0\le v^d(t-t_0)$、したがって、$m$がバウンダリー（境界）ポイントである時も、それは成立する。

$\gamma :J\to M,t\mapsto {{\varphi }_m}^{-1}(({\varphi }_m(m{)}^1+v^1(t-t_0),...,{\varphi }_m(m{)}^d+v^d(t-t_0)))$を定義しよう。

$\gamma$はウェルデファインド（妥当に定義されている）である、なぜなら、$({\varphi }_m(m{)}^1+v^1(t-t_0),...,{\varphi }_m(m{)}^d+v^d(t-t_0))\subseteq {\varphi }_m(U_m)$。

$\gamma$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、なぜなら、$J\to {\varphi }_m(U_m),t\mapsto ({\varphi }_m(m{)}^1+v^1(t-t_0),...,{\varphi }_m(m{)}^d+v^d(t-t_0))$は明らかに$C^{\mathrm{\infty }}$であり、${{\varphi }_m}^{-1}:{\varphi }_m(U_m)\to M$は$C^{\mathrm{\infty }}$である。

ステップ4:

$v=d\gamma (d/dt{|}_{t_0})$であることを見よう。

$f\in C^{\mathrm{\infty }}(M)$を任意のものとしよう。

$d\gamma (d/dt{|}_{t_0})(f)=d/dt{|}_{t_0}(f\circ \gamma )=d/dt{|}_{t_0}(f\circ {{\varphi }_m}^{-1}(({\varphi }_m(m{)}^1+v^1(t-t_0),...,{\varphi }_m(m{)}^d+v^d(t-t_0))))={\partial }_j(f\circ {{\varphi }_m}^{-1}){|}_{{\varphi }_m(m)}d({\varphi }_m(m{)}^j+v^j(t-t_0))/dt{|}_{t_0}$、チェインルールによって（実のところ、${\partial }_d$および$d/dt{|}_{t_0}$はワンサイデッド（片側）である）、$=v^j{\partial }_j(f\circ {{\varphi }_m}^{-1}){|}_{{\varphi }_m(m)}$。

$vf=v^j\partial /\partial x^j(f)=v^j{\partial }_j(f\circ {{\varphi }_m}^{-1}){|}_{{\varphi }_m(m)}$: 任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）上の任意のチャートインデュースト（誘導された）ベーシス（基底）ベクトルとは何であるかを参照のこと。

したがって、$v=d\gamma (d/dt{|}_{t_0})$。

ステップ5:

いくつかの所見たちを述べよう。

${\varphi }_m\circ \gamma :J\to {\varphi }_m(U_m)$は$t\mapsto ({\varphi }_m(m{)}^1+v^1(t-t_0),...,{\varphi }_m(m{)}^d+v^d(t-t_0))$、それが、$\gamma$が"コーディネート（座標）たちにおいてリニア（線形）"であるというのが意味するところである。

$m$のおいて同一ベロシティーを持つ複数のカーブたちがあり得るので、コーディネート（座標）たちにおいてリニア（線形）でないカーブを取ることができる。

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参考資料

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