トポロジカルスペース（空間）およびファイナイト（有限）数のオープンカバー（開被覆）たちに対して、カバー（被覆）たちのインターセクション（共通集合）はオープンカバー（開被覆）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびファイナイト（有限）数の任意のオープンカバー（開被覆）たちに対して、当該カバー（被覆）たちのインターセクション（共通集合）はオープンカバー（開被覆）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(A_1\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
...
\(A_n\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(A\): \(= A_1 \times ... \times A_n\)
\(C_1\): \(= \{U_{1, \alpha_1} \vert \alpha_1 \in A_1\}\), \(\in \{T \text{ の全てのオープンカバー（開被覆）たち }\}\)
...
\(C_n\): \(= \{U_{n, \alpha_n} \vert \alpha_n \in A_n\}\), \(\in \{T \text{ の全てのオープンカバー（開被覆）たち }\}\)
\(C\): \(= \{U_{1, \alpha_1} \cap ... \cap U_{n, \alpha_n} \vert \alpha = (\alpha_1, ..., \alpha_n) \in A\}\): それは、"当該オープンカバー（開被覆）たちのインターセクション（共通集合）"と呼ばれる
//
ステートメント（言明）たち:
\(C \in \{\text{ の全てのオープンカバー（開被覆）たち } T\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(t \in T\)を取り、\(t\)は\(C\)のある要素に包含されていることを見る: ステップ2: \(C\)の各要素は\(T\)上でオープン（開）であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(t \in T\)は任意のものであるとしよう。
\(t\)は\(C\)のある要素に包含されていることを見よう。
\(C_j\)はカバー（被覆）であるから、以下を満たすある\(U_{j , \beta_j} \in C_j\)、つまり、\(t \in U_{j , \beta_j}\)、がある。
\(\beta = (\beta_1, ..., \beta_n) \in A\)、したがって、\(U_{1, \beta_1} \cap ... \cap U_{n, \beta_n} \in C\)。
\(t \in U_{1, \beta_1} \cap ... \cap U_{n, \beta_n}\)。
ステップ2:
\(C\)の各要素は\(U_{1, \alpha_1} \cap ... \cap U_{n, \alpha_n}\)である、それは\(T\)上でオープン（開）である、オープンサブセット（開部分集合）たちのファイナイト（有限）インターセクション（共通集合）として。
ステップ3:
\(C\)内に重複たちがあるかもしれないが、そうした重複たちは、セット（集合）の定義によって自動的に取り除かれる（いかなるセット（集合）も重複を持たない）。そして、\(\emptyset\)が\(C\)内に含まれているかもしれない、しかし、それは、\(C\)がオープンカバー（開被覆）であることに対する何の問題でもない。
したがって、\(C\)は\(T\)のオープンカバー（開被覆）である。
