804: トポロジカルスペース（空間）およびファイナイト（有限）数のオープンカバー（開被覆）たちに対して、カバー（被覆）たちのインターセクション（共通集合）はオープンカバー（開被覆）である

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

トポロジカルスペース（空間）およびファイナイト（有限）数のオープンカバー（開被覆）たちに対して、カバー（被覆）たちのインターセクション（共通集合）はオープンカバー（開被覆）であることの記述/証明

---

話題

About: トポロジカルスペース（空間）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

---

開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびファイナイト（有限）数の任意のオープンカバー（開被覆）たちに対して、当該カバー（被覆）たちのインターセクション（共通集合）はオープンカバー（開被覆）であるという命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

---

本体

---

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$A_1$: $\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}$
...
$A_n$: $\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}$
$A$: $=A_1\times ...\times A_n$
$C_1$: $=\{U_{1,{\alpha }_1}|{\alpha }_1\in A_1\}$, $\in \{T\text{ の全てのオープンカバー（開被覆）たち }\}$
...
$C_n$: $=\{U_{n,{\alpha }_n}|{\alpha }_n\in A_n\}$, $\in \{T\text{ の全てのオープンカバー（開被覆）たち }\}$
$C$: $=\{U_{1,{\alpha }_1}\cap ...\cap U_{n,{\alpha }_n}|\alpha =({\alpha }_1,...,{\alpha }_n)\in A\}$: それは、"当該オープンカバー（開被覆）たちのインターセクション（共通集合）"と呼ばれる
//

ステートメント（言明）たち:
$C\in \{\text{ の全てのオープンカバー（開被覆）たち }T\}$
//

---

2: 証明

全体戦略: ステップ1: 各$t\in T$を取り、$t$は$C$のある要素に包含されていることを見る: ステップ2: $C$の各要素は$T$上でオープン（開）であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。

ステップ1:

$t\in T$は任意のものであるとしよう。

$t$は$C$のある要素に包含されていることを見よう。

$C_j$はカバー（被覆）であるから、以下を満たすある$U_{j,{\beta }_j}\in C_j$、つまり、$t\in U_{j,{\beta }_j}$、がある。

$\beta =({\beta }_1,...,{\beta }_n)\in A$、したがって、$U_{1,{\beta }_1}\cap ...\cap U_{n,{\beta }_n}\in C$。

$t\in U_{1,{\beta }_1}\cap ...\cap U_{n,{\beta }_n}$。

ステップ2:

$C$の各要素は$U_{1,{\alpha }_1}\cap ...\cap U_{n,{\alpha }_n}$である、それは$T$上でオープン（開）である、オープンサブセット（開部分集合）たちのファイナイト（有限）インターセクション（共通集合）として。

ステップ3:

$C$内に重複たちがあるかもしれないが、そうした重複たちは、セット（集合）の定義によって自動的に取り除かれる（いかなるセット（集合）も重複を持たない）。そして、$\mathrm{\varnothing }$が$C$内に含まれているかもしれない、しかし、それは、$C$がオープンカバー（開被覆）であることに対する何の問題でもない。

したがって、$C$は$T$のオープンカバー（開被覆）である。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>