805: C∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、チャートに対して、チャートの、オープンサブセット（開部分集合）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はチャートである

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$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、チャートに対して、チャートの、オープンサブセット（開部分集合）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はチャートであることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。
• 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、その任意のチャートに対して、当該チャートの、任意のオープンサブセット（開部分集合）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はチャートであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ ディメンショナル（次元） }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$(U\subseteq M,\varphi )$: $\in \{M\text{ の全てのチャートたち }\}$
$U^{\prime }$: $\in \{U\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$(U^{\prime }\subseteq M,\varphi {|}_{U^{\prime }})\in \{M\text{ の全てのチャートたち }\}$
//

$U^{\prime }\subseteq U$は$U$のオープンサブセット（開部分集合）である、もしも、それが$M$のオープンサブセット（開部分集合）である場合、そしてその場合に限って、なぜなら、$U$は$M$のオープンサブスペース（開部分空間）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって。

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: $U^{\prime }\subseteq M$および$\varphi {|}_{U^{\prime }}(U^{\prime })\subseteq {\mathbb{R}}^d\text{ または }{\mathbb{H}}^d$はオープン（開）であり、$\varphi {|}_{U^{\prime }}:U^{\prime }\to \varphi (U^{\prime })$はホメオモーフィック（位相同形写像）であることを見る; ステップ2: $(U^{\prime }\subseteq M,\varphi {|}_{U^{\prime }})$と$(U\subseteq M,\varphi )$は$C^{\mathrm{\infty }}$コンパチブルであることを見る。

ステップ1:

$U^{\prime }$は$M$上でオープン（開）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって。

$\varphi {|}_{U^{\prime }}(U^{\prime })\subseteq {\mathbb{R}}^d\text{ または }{\mathbb{H}}^d$は${\mathbb{R}}^d$または${\mathbb{H}}^d$上でオープン（開）であることを見よう。

$\varphi$はホメオモーフィック（位相同形写像）であるから、$\varphi {|}_{U^{\prime }}(U^{\prime })=\varphi (U^{\prime })\subseteq \varphi (U)$は$\varphi (U)$上でオープン（開）である。$\varphi (U)$は${\mathbb{R}}^d$または${\mathbb{H}}^d$のオープンサブスペース（開部分空間）であるから、$\varphi {|}_{U^{\prime }}(U^{\prime })$は${\mathbb{R}}^d$または${\mathbb{H}}^d$上でオープン（開）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって。

$\varphi {|}_{U^{\prime }}:U^{\prime }\to \varphi (U^{\prime })$はホメオモーフィック（位相同形写像）であることを見よう。

$\varphi$はホメオモーフィック（位相同形写像）であるから、$\varphi {|}_{U^{\prime }}$ホメオモーフィック（位相同形写像）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。

ステップ2:

$(U^{\prime }\subseteq M,\varphi {|}_{U^{\prime }})$と$(U\subseteq M,\varphi )$は$C^{\mathrm{\infty }}$コンパチブルであることを見よう。

トランジションマップ（遷移写像）$\varphi \circ {\varphi {|}_{U^{\prime }}}^{-1}:\varphi {|}_{U^{\prime }}(U^{\prime })\to \varphi (U^{\prime })$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、なぜなら、それは$id$である。

トランジションマップ（遷移写像）$\varphi {|}_{U^{\prime }}\circ {\varphi {|}_{U^{\prime }}}^{-1}:\varphi {|}_{U^{\prime }}(U^{\prime })\to \varphi {|}_{U^{\prime }}(U^{\prime })$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、なぜなら、それは$id$である。

したがって、$(U^{\prime }\subseteq M,\varphi {|}_{U^{\prime }})$と$(U\subseteq M,\varphi )$は本当に$C^{\mathrm{\infty }}$コンパチブルである。

したがって、$(U^{\prime }\subseteq M,\varphi {|}_{U^{\prime }})$はマキシマルアトラスの中にいる。

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参考資料

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