\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、チャートに対して、チャートの、オープンサブセット（開部分集合）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はチャートであることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、その任意のチャートに対して、当該チャートの、任意のオープンサブセット（開部分集合）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はチャートであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\((U \subseteq M, \phi)\): \(\in \{M \text{ の全てのチャートたち }\}\)
\(U'\): \(\in \{U \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\((U' \subseteq M, \phi \vert_{U'}) \in \{M \text{ の全てのチャートたち }\}\)
//
\(U' \subseteq U\)は\(U\)のオープンサブセット（開部分集合）である、もしも、それが\(M\)のオープンサブセット（開部分集合）である場合、そしてその場合に限って、なぜなら、\(U\)は\(M\)のオープンサブスペース（開部分空間）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって。
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(U' \subseteq M\)および\(\phi \vert_{U'} (U') \subseteq \mathbb{R}^d \text{ または } \mathbb{H}^d\)はオープン（開）であり、\(\phi \vert_{U'}: U' \to \phi (U')\)はホメオモーフィック（位相同形写像）であることを見る; ステップ2: \((U' \subseteq M, \phi \vert_{U'})\)と\((U \subseteq M, \phi)\)は\(C^\infty\)コンパチブルであることを見る。
ステップ1:
\(U'\)は\(M\)上でオープン（開）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって。
\(\phi \vert_{U'} (U') \subseteq \mathbb{R}^d \text{ または } \mathbb{H}^d\)は\(\mathbb{R}^d\)または\(\mathbb{H}^d\)上でオープン（開）であることを見よう。
\(\phi\)はホメオモーフィック（位相同形写像）であるから、\(\phi \vert_{U'} (U') = \phi (U') \subseteq \phi (U)\)は\(\phi (U)\)上でオープン（開）である。\(\phi (U)\)は\(\mathbb{R}^d\)または\(\mathbb{H}^d\)のオープンサブスペース（開部分空間）であるから、\(\phi \vert_{U'} (U')\)は\(\mathbb{R}^d\)または\(\mathbb{H}^d\)上でオープン（開）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって。
\(\phi \vert_{U'}: U' \to \phi (U')\)はホメオモーフィック（位相同形写像）であることを見よう。
\(\phi\)はホメオモーフィック（位相同形写像）であるから、\(\phi \vert_{U'}\)ホメオモーフィック（位相同形写像）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
ステップ2:
\((U' \subseteq M, \phi \vert_{U'})\)と\((U \subseteq M, \phi)\)は\(C^\infty\)コンパチブルであることを見よう。
トランジションマップ（遷移写像）\(\phi \circ {\phi \vert_{U'}}^{-1}: \phi \vert_{U'} (U') \to \phi (U')\)は\(C^\infty\)である、なぜなら、それは\(id\)である。
トランジションマップ（遷移写像）\(\phi \vert_{U'} \circ {\phi \vert_{U'}}^{-1}: \phi \vert_{U'} (U') \to \phi \vert_{U'} (U')\)は\(C^\infty\)である、なぜなら、それは\(id\)である。
したがって、\((U' \subseteq M, \phi \vert_{U'})\)と\((U \subseteq M, \phi)\)は本当に\(C^\infty\)コンパチブルである。
したがって、\((U' \subseteq M, \phi \vert_{U'})\)はマキシマルアトラスの中にいる。
