トポロジカルスペース（空間）およびクローズド（閉）サブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限な）セット（集合）に対して、セット（集合）のユニオン（和集合）はクローズド（閉）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限な）セット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）のユニオン（和集合）の定義を知っている。
- 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびクローズド（閉）サブセット（部分集合）たちの任意のローカルにファイナイト（有限な）セット（集合）に対して、当該セット（集合）のユニオン（和集合）はクローズド（閉）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(A\): \(\in \{\text{ アンカウンタブル（不可算）かもしれない全てのインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{C_\alpha \vert \alpha \in A\}\): \(\in \{T \text{ のクローズドサブセット（閉部分集合）たちの全てのローカルにファイナイト（有限）セット（集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\cup \{C_\alpha \vert \alpha \in A\} \subseteq T \in \{\text{ 全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)、アンカウンタブル（不可算）かもしれない任意のインデックスセット（集合）\(A\)、\(T\)のクローズドサブセット（閉部分集合）たちの任意のローカルにファイナイト（有限）セット（集合）\(\{C_\alpha \vert \alpha \in A\}\)に対して、\(\{C_\alpha \vert \alpha \in A\}\)のユニオン（和集合）\(\cup \{C_\alpha \vert \alpha \in A\} \subseteq T\)はクローズド（閉）である。
3: 注
\(A\)がファイナイト（有限）である時は、勿論、\(\cup \{C_\alpha \vert \alpha \in A\} \subseteq T\)はクローズド（閉）である; 本命題は、何らかのインフィニット（無限）数クローズドサブセット（閉集合）たちのユニオン（和集合）がクローズド（閉）であるための十分条件についてのものである。
4: 証明
全体戦略: \(T \setminus \cup \{C_\alpha \vert \alpha \in A\}\)はオープン（開）であることを、オープン（開）であることのローカル基準によって証明する; ステップ1: \(t \in T \setminus \cup \{C_\alpha \vert \alpha \in A\}\)は任意のものであるとし、\(t\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq T\)で、ファイナイト（有限）数の\(C_\alpha\)たちとのみ交わるもの\(\{C_\alpha \vert \alpha \in B\}\)を取る; ステップ2: \(U'_t := U_t \cap \cap_{\alpha \in B} (T \setminus C_\alpha) \subseteq T\)を取り、\(U'_t\)は\(t\)の\(T\)上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）であることを見る; ステップ3: \(U'_t \subseteq T \setminus \cup \{C_\alpha \vert \alpha \in A\}\)であることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(t \in T \setminus \cup \{C_\alpha \vert \alpha \in A\}\)は任意のものであるとしよう。
\(t\)の以下を満たす任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq T\)、つまり、あるファイナイト（有限）（空かもしれない）サブセット（部分集合）\(B \subseteq A\)、つまり、各\(\alpha \in B\)に対して\(U_t \cap C_\alpha \neq \emptyset\)で各\(\alpha \in A \setminus B\)に対して\(U_t \cap C_\alpha = \emptyset\)、を取ろう、それは、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限な）セット（集合）の定義によって可能である。
ステップ2:
\(B\)が空である時、\(U'_t := U_t\)を取ろう。\(U'_t\)は、\(t\)の\(T\)上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）である。
本ステップの残りでは、\(B\)は空でないと仮定しよう。
\(U'_t := U_t \cap \cap_{\alpha \in B} (T \setminus C_\alpha) \subseteq T\)を取ろう。
\(t \in U'_t\)、なぜなら、\(t \in U_t\)であり、各\(\alpha \in B\)に対して、\(t \in T \setminus C_\alpha\)、なぜなら、\(t \in T \setminus \cup \{C_\alpha \vert \alpha \in A\}\)、それが意味するのは、各\(\alpha \in A\)に対して\(t \notin C_\alpha\)、それが意味するのは、各\(\alpha \in B \subseteq A\)に対して\(t \notin C_\alpha\)。
\(T \setminus C_\alpha \subseteq T\)はオープン（開）であり\(B\)はファイナイト（有限）であるので、\(U'_t\)は\(T\)上でオープン（開）である、オープンサブセット（開部分集合）たちのファイナイト（有限）インターセクション（共通集合）として。
したがって、\(U'_t\)は\(t\)の\(T\)上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）である。
ステップ3:
\(U'_t \subseteq T \setminus \cup \{C_\alpha \vert \alpha \in A\}\)であることを見よう。
\(t' \in U'_t\)は任意のものであるとしよう。各\(\alpha \in B\)に対して\(t' \in T \setminus C_\alpha\)、それが意味するのは、\(t' \notin C_\alpha\)。\(t' \in U_t\)、それが意味するのは、各\(\alpha \in A \setminus B\)に対して\(t' \notin C_\alpha\)、なぜなら、\(U_t \cap C_\alpha = \emptyset\)。したがって、各\(\alpha \in A\)に対して\(t' \notin C_\alpha\)。したがって、\(t' \notin \cup \{C_\alpha \vert \alpha \in A\}\)、それが含意するのは、\(t' \in T \setminus \cup \{C_\alpha \vert \alpha \in A\}\)。
したがって、\(U'_t \subseteq T \setminus \cup \{C_\alpha \vert \alpha \in A\}\)。
ステップ4:
オープン（開）であることのローカル基準によって、\(T \setminus \cup \{C_\alpha \vert \alpha \in A\}\)は\(T\)上でオープン（開）である、したがって、\(\cup \{C_\alpha \vert \alpha \in A\}\)は\(T\)上でクローズド（閉）である。
