803: トポロジカルスペース（空間）およびクローズド（閉）サブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限な）セット（集合）に対して、セット（集合）のユニオン（和集合）はクローズド（閉）である

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トポロジカルスペース（空間）およびクローズド（閉）サブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限な）セット（集合）に対して、セット（集合）のユニオン（和集合）はクローズド（閉）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注
• 4: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限な）セット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
• 読者は、セット（集合）のユニオン（和集合）の定義を知っている。
• 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびクローズド（閉）サブセット（部分集合）たちの任意のローカルにファイナイト（有限な）セット（集合）に対して、当該セット（集合）のユニオン（和集合）はクローズド（閉）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$A$: $\in \{\text{ アンカウンタブル（不可算）かもしれない全てのインデックスセット（集合）たち }\}$
$\{C_{\alpha }|\alpha \in A\}$: $\in \{T\text{ のクローズドサブセット（閉部分集合）たちの全てのローカルにファイナイト（有限）セット（集合）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\cup \{C_{\alpha }|\alpha \in A\}\subseteq T\in \{\text{ 全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$、アンカウンタブル（不可算）かもしれない任意のインデックスセット（集合）$A$、$T$のクローズドサブセット（閉部分集合）たちの任意のローカルにファイナイト（有限）セット（集合）$\{C_{\alpha }|\alpha \in A\}$に対して、$\{C_{\alpha }|\alpha \in A\}$のユニオン（和集合）$\cup \{C_{\alpha }|\alpha \in A\}\subseteq T$はクローズド（閉）である。

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3: 注

$A$がファイナイト（有限）である時は、勿論、$\cup \{C_{\alpha }|\alpha \in A\}\subseteq T$はクローズド（閉）である; 本命題は、何らかのインフィニット（無限）数クローズドサブセット（閉集合）たちのユニオン（和集合）がクローズド（閉）であるための十分条件についてのものである。

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4: 証明

全体戦略: $T\setminus \cup \{C_{\alpha }|\alpha \in A\}$はオープン（開）であることを、オープン（開）であることのローカル基準によって証明する; ステップ1: $t\in T\setminus \cup \{C_{\alpha }|\alpha \in A\}$は任意のものであるとし、$t$の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）$U_t\subseteq T$で、ファイナイト（有限）数の$C_{\alpha }$たちとのみ交わるもの$\{C_{\alpha }|\alpha \in B\}$を取る; ステップ2: $U_t^{\prime }:=U_t\cap {\cap }_{\alpha \in B}(T\setminus C_{\alpha })\subseteq T$を取り、$U_t^{\prime }$は$t$の$T$上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）であることを見る; ステップ3: $U_t^{\prime }\subseteq T\setminus \cup \{C_{\alpha }|\alpha \in A\}$であることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。

ステップ1:

$t\in T\setminus \cup \{C_{\alpha }|\alpha \in A\}$は任意のものであるとしよう。

$t$の以下を満たす任意のオープンネイバーフッド（開近傍）$U_t\subseteq T$、つまり、あるファイナイト（有限）（空かもしれない）サブセット（部分集合）$B\subseteq A$、つまり、各$\alpha \in B$に対して$U_t\cap C_{\alpha }\ne \mathrm{\varnothing }$で各$\alpha \in A\setminus B$に対して$U_t\cap C_{\alpha }=\mathrm{\varnothing }$、を取ろう、それは、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限な）セット（集合）の定義によって可能である。

ステップ2:

$B$が空である時、$U_t^{\prime }:=U_t$を取ろう。$U_t^{\prime }$は、$t$の$T$上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）である。

本ステップの残りでは、$B$は空でないと仮定しよう。

$U_t^{\prime }:=U_t\cap {\cap }_{\alpha \in B}(T\setminus C_{\alpha })\subseteq T$を取ろう。

$t\in U_t^{\prime }$、なぜなら、$t\in U_t$であり、各$\alpha \in B$に対して、$t\in T\setminus C_{\alpha }$、なぜなら、$t\in T\setminus \cup \{C_{\alpha }|\alpha \in A\}$、それが意味するのは、各$\alpha \in A$に対して$t\notin C_{\alpha }$、それが意味するのは、各$\alpha \in B\subseteq A$に対して$t\notin C_{\alpha }$。

$T\setminus C_{\alpha }\subseteq T$はオープン（開）であり$B$はファイナイト（有限）であるので、$U_t^{\prime }$は$T$上でオープン（開）である、オープンサブセット（開部分集合）たちのファイナイト（有限）インターセクション（共通集合）として。

したがって、$U_t^{\prime }$は$t$の$T$上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）である。

ステップ3:

$U_t^{\prime }\subseteq T\setminus \cup \{C_{\alpha }|\alpha \in A\}$であることを見よう。

$t^{\prime }\in U_t^{\prime }$は任意のものであるとしよう。各$\alpha \in B$に対して$t^{\prime }\in T\setminus C_{\alpha }$、それが意味するのは、$t^{\prime }\notin C_{\alpha }$。$t^{\prime }\in U_t$、それが意味するのは、各$\alpha \in A\setminus B$に対して$t^{\prime }\notin C_{\alpha }$、なぜなら、$U_t\cap C_{\alpha }=\mathrm{\varnothing }$。したがって、各$\alpha \in A$に対して$t^{\prime }\notin C_{\alpha }$。したがって、$t^{\prime }\notin \cup \{C_{\alpha }|\alpha \in A\}$、それが含意するのは、$t^{\prime }\in T\setminus \cup \{C_{\alpha }|\alpha \in A\}$。

したがって、$U_t^{\prime }\subseteq T\setminus \cup \{C_{\alpha }|\alpha \in A\}$。

ステップ4:

オープン（開）であることのローカル基準によって、$T\setminus \cup \{C_{\alpha }|\alpha \in A\}$は$T$上でオープン（開）である、したがって、$\cup \{C_{\alpha }|\alpha \in A\}$は$T$上でクローズド（閉）である。

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参考資料

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