セット（集合）に対して、\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちのインターセクション（共通集合）は\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）であることの記述/証明
話題
About: メジャー（測度）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、任意の\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちのインターセクション（共通集合）は\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(\{A_j \vert j \in J\}\): \(J \in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\), \(A_j \in \{S \text{ の全ての } \sigma \text{ -アルジェブラ（多元環）たち }\}\)
\(A\): \(= \cap_{j \in J} A_j\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(A \in \{S \text{ 全ての } \sigma \text{ -アルジェブラ（多元環）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(A\)は\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）であるための諸要件たちを満たしていることを見る。
ステップ1:
1) \(S \in A\): 各\(j \in J\)に対して、\(S \in A_j\)、したがって、\(S \in \cap_{j \in J} A_j = A\)。
2) \(\forall a \in A (S \setminus a \in A)\): \(a \in A_j\)、各\(j \in J\)に対して、したがって、\(S \setminus a \in A_j\)、各\(j\)に対して、したがって、\(S \setminus a \in \cap_{j \in J} A_j = A\)。
3) \(\forall s: \mathbb{N} \to A (\cup_{j \in \mathbb{N}} s (j) \in A)\): \(s (k) \in A\)であるから、\(s (k) \in A_j\)、各\(j \in J\)に対して、したがって、\(s\)は\(: \mathbb{N} \to A_j\)、各\(j\)に対して、したがって、\(\cup_{k \in \mathbb{N}} s (k) \in A_j\)、各\(j\)に対して、したがって、\(\cup_{k \in \mathbb{N}} s (k) \in \cap_{j \in J} A_j = A\)。
