909: セット（集合）に対して、σ-アルジェブラ（多元環）たちのインターセクション（共通集合）はσ-アルジェブラ（多元環）である

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セット（集合）に対して、$\sigma$-アルジェブラ（多元環）たちのインターセクション（共通集合）は$\sigma$-アルジェブラ（多元環）であることの記述/証明

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話題

About: メジャー（測度）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）の$\sigma$-アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のセット（集合）に対して、任意の$\sigma$-アルジェブラ（多元環）たちのインターセクション（共通集合）は$\sigma$-アルジェブラ（多元環）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$S$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$\{A_j|j\in J\}$: $J\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}$, $A_j\in \{S\text{ の全ての }\sigma \text{ -アルジェブラ（多元環）たち }\}$
$A$: $={\cap }_{j\in J}{A}_j$
//

ステートメント（言明）たち:
$A\in \{S\text{ 全ての }\sigma \text{ -アルジェブラ（多元環）たち }\}$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: $A$は$\sigma$-アルジェブラ（多元環）であるための諸要件たちを満たしていることを見る。

ステップ1:

1) $S\in A$: 各$j\in J$に対して、$S\in A_j$、したがって、$S\in {\cap }_{j\in J}{A}_j=A$。

2) $\mathrm{\forall }a\in A(S\setminus a\in A)$: $a\in A_j$、各$j\in J$に対して、したがって、$S\setminus a\in A_j$、各$j$に対して、したがって、$S\setminus a\in {\cap }_{j\in J}{A}_j=A$。

3) $\mathrm{\forall }s:\mathbb{N}\to A({\cup }_{j\in \mathbb{N}}s(j)\in A)$: $s(k)\in A$であるから、$s(k)\in A_j$、各$j\in J$に対して、したがって、$s$は$:\mathbb{N}\to A_j$、各$j$に対して、したがって、${\cup }_{k\in \mathbb{N}}s(k)\in A_j$、各$j$に対して、したがって、${\cup }_{k\in \mathbb{N}}s(k)\in {\cap }_{j\in J}{A}_j=A$。

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参考資料

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