910: セット（集合）の、サブセット（部分集合）たちのセット（集合）によって生成されたσ-アルジェブラ（多元環）

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セット（集合）の、サブセット（部分集合）たちのセット（集合）によって生成された$\sigma$-アルジェブラ（多元環）の定義

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話題

About: メジャー（測度）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）の$\sigma$-アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、セット（集合）の、サブセット（部分集合）たちのセット（集合）によって生成された$\sigma$-アルジェブラ（多元環）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$S^{\prime }$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$S$: $\subseteq Pow{S}^{\prime }$
$\ast \sigma (S)$: $\in S^{\prime }\{\text{ の全ての }\sigma \text{ -アルジェブラ（多元環）たち }\}$
//

コンディションたち:
$S\subseteq \sigma (S)$
$\wedge$
$\mathrm{\forall }{A}^{\prime }\in S^{\prime }\{\text{ の全ての }\sigma \text{ -アルジェブラ（多元環）たち }\}\text{ で、以下を満たすもの、つまり、 }S\subseteq A^{\prime }(\sigma (S)\subseteq A^{\prime })$
//

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2: 注

言い換えると、$\sigma (S)$は、$S$を包含する最小の$\sigma$-アルジェブラ（多元環）である。

$\sigma (S)$はユニークに決定される、なぜなら、それは、$S^{\prime }$の、$S$を包含する全ての$\sigma$アルジェブラ（多元環）たちのインターセクション（共通集合）である、ここで、少なくとも$Pow{S}^{\prime }$はそういうものである: 当該インターセクション（共通集合）は、$S^{\prime }$の、$S$を包含する$\sigma$-アルジェブラ（多元環）である、任意のセット（集合）に対して、任意の$\sigma$-アルジェブラ（多元環）たちのインターセクション（共通集合）は$\sigma$-アルジェブラ（多元環）であるという命題によって; 各$A^{\prime }\in S^{\prime }\{\text{ の全ての }\sigma \text{ -アルジェブラ（多元環）たち }\}\text{ で以下を満たすもの、つまり、 }S\subseteq A^{\prime }$に対して、$\sigma (S)\subseteq A^{\prime }$、なぜなら、$A^{\prime }$は当該インターセクション（共通集合）の構成要素である。

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参考資料

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