919: セット（集合）マイナス（セット（集合）マイナスセット（集合））は、（第1セット（集合）マイナス第2セット（集合））マイナス第3セット（集合）では必ずしもないが、それを包含する

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セット（集合）マイナス（セット（集合）マイナスセット（集合））は、（第1セット（集合）マイナス第2セット（集合））マイナス第3セット（集合）では必ずしもないが、それを包含することの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の（集合）マイナス（任意のセット（集合）マイナス任意のセット（集合））は、（第1セット（集合）マイナス第2セット（集合））マイナス第3セット（集合）では必ずしもないが、それを包含するという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$S_1$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$S_2$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$S_3$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
必ずしも以下ではない、$S_1\setminus (S_2\setminus S_3)=(S_1\setminus S_2)\setminus S_3$
$\wedge$
$(S_1\setminus S_2)\setminus S_3\subseteq S_1\setminus (S_2\setminus S_3)$
//

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2: 自然言語記述

任意のセット（集合）たち$S_1,S_2,S_3$に対して、$S_1\setminus (S_2\setminus S_3)$は必ずしも$(S_1\setminus S_2)\setminus S_3$ではない、しかし、$(S_1\setminus S_2)\setminus S_3\subseteq S_1\setminus (S_2\setminus S_3)$。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $S_1\setminus (S_2\setminus S_3)\ne (S_1\setminus S_2)\setminus S_3$である1つの例を見る; ステップ2: $(S_1\setminus S_2)\setminus S_3\subseteq S_1\setminus (S_2\setminus S_3)$であることを見る。

ステップ1:

第1パートに対しては、1つの反例で十分である。

$S_1=\{0,1\}、S_2=\mathrm{\varnothing },S_3=\{0\}$としよう。すると、$S_1\setminus (S_2\setminus S_3)=\{0,1\}\setminus \mathrm{\varnothing }=\{0,1\}$; $(S_1\setminus S_2)\setminus S_3=\{0,1\}\setminus \{0\}=\{1\}$。

ステップ2:

第2パートに対しては、任意の$p\in (S_1\setminus S_2)\setminus S_3$に対して、$p\in S_1$、$p\notin S_2$、したがって、$p\notin S_2\setminus S_3$、したがって、$p\in S_1\setminus (S_2\setminus S_3)$。

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参考資料

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