セット（集合）マイナス（セット（集合）マイナスセット（集合））は、（第1セット（集合）マイナス第2セット（集合））マイナス第3セット（集合）では必ずしもないが、それを包含することの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の（集合）マイナス（任意のセット（集合）マイナス任意のセット（集合））は、（第1セット（集合）マイナス第2セット（集合））マイナス第3セット（集合）では必ずしもないが、それを包含するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S_1\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S_2\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S_3\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
必ずしも以下ではない、\(S_1 \setminus (S_2 \setminus S_3) = (S_1 \setminus S_2) \setminus S_3\)
\(\land\)
\((S_1 \setminus S_2) \setminus S_3 \subseteq S_1 \setminus (S_2 \setminus S_3)\)
//
2: 自然言語記述
任意のセット（集合）たち\(S_1, S_2, S_3\)に対して、\(S_1 \setminus (S_2 \setminus S_3)\)は必ずしも\((S_1 \setminus S_2) \setminus S_3\)ではない、しかし、\((S_1 \setminus S_2) \setminus S_3 \subseteq S_1 \setminus (S_2 \setminus S_3)\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(S_1 \setminus (S_2 \setminus S_3) \neq (S_1 \setminus S_2) \setminus S_3\)である1つの例を見る; ステップ2: \((S_1 \setminus S_2) \setminus S_3 \subseteq S_1 \setminus (S_2 \setminus S_3)\)であることを見る。
ステップ1:
第1パートに対しては、1つの反例で十分である。
\(S_1 = \{0, 1\}、S_2 = \emptyset, S_3 = \{0\}\)としよう。すると、\(S_1 \setminus (S_2 \setminus S_3) = \{0, 1\} \setminus \emptyset = \{0, 1\}\); \((S_1 \setminus S_2) \setminus S_3 = \{0, 1\} \setminus \{0\} = \{1\}\)。
ステップ2:
第2パートに対しては、任意の\(p \in (S_1 \setminus S_2) \setminus S_3\)に対して、\(p \in S_1\)、\(p \notin S_2\)、したがって、\(p \notin S_2 \setminus S_3\)、したがって、\(p \in S_1 \setminus (S_2 \setminus S_3)\)。
