セット（集合）マイナス(セット（集合）マイナスセット（集合）)は第1セット（集合）マイナス第2セット（集合）と第1セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）のユニオン（和集合）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）マイナス(任意のセット（集合）マイナス任意のセット（集合）)は第1セット（集合）マイナス第2セット（集合）と第1セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）のユニオン（和集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S_1\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S_2\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S_3\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S_1 \setminus (S_2 \setminus S_3) = (S_1 \setminus S_2) \cup (S_1 \cap S_3)\)
//
2: 自然言語記述
任意のセット（集合）たち\(S_1, S_2, S_3\)に対して、\(S_1 \setminus (S_2 \setminus S_3) = (S_1 \setminus S_2) \cup (S_1 \cap S_3)\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(S_1 \setminus (S_2 \setminus S_3) \subseteq (S_1 \setminus S_2) \cup (S_1 \cap S_3)\)であることを見る; ステップ2: \((S_1 \setminus S_2) \cup (S_1 \cap S_3) \subseteq S_1 \setminus (S_2 \setminus S_3)\)であることを見る。
ステップ1:
任意の\(p \in S_1 \setminus (S_2 \setminus S_3)\)に対して、\(p \in S_1\)、\(p \notin S_2 \setminus S_3\)、\(p \notin S_2\)または\(p \in S_3\)、したがって、\(p \in S_1 \setminus S_2\)または\(p \in S_1 \cap S_3\)、したがって、\(p \in (S_1 \setminus S_2) \cup (S_1 \cap S_3)\)。
ステップ2:
任意の\(p \in (S_1 \setminus S_2) \cup (S_1 \cap S_3)\)に対して、\(p \in S_1\)、\(p \notin S_2\)または\(p \in S_3\)、したがって、\(p \notin S_2 \setminus S_3\)、したがって、\(p \in S_1 \setminus (S_2 \setminus S_3)\)。
4: 注
\(S_1 \setminus (S_2 \setminus S_3) = (S_1 \setminus S_2) \cup S_3\)は必ずしも成立しない、なぜなら、例えば、もしも、\(S_3\)が\(S_1\)内に包含されていないあるポイントを包含している場合、左辺は当該ポイントを包含しないが、右辺は当該ポイントを包含する。
\(S_1 \setminus (S_2 \setminus S_3)\)は必ずしも\((S_1 \setminus S_2) \setminus S_3\)に等しくないが、それを包含する、別の記事内で証明されたとおり。
