セット（集合）マイナスセット（集合）とセット（集合）のユニオン（和集合）は、必ずしも、第1セット（集合）と第3セット（集合）のユニオン（和集合）マイナス第2セット（集合）マイナス第3セット（集合）のユニオン（和集合）ではないが、それを包含することの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）マイナス任意のセット（集合）と任意のセット（集合）のユニオン（和集合）は、必ずしも、第1セット（集合）と第3セット（集合）のユニオン（和集合）マイナス第2セット（集合）マイナス第3セット（集合）のユニオン（和集合）ではないが、それを包含するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S_1\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S_2\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S_3\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
必ずしも以下ではない、\((S_1 \setminus S_2) \cup S_3 = (S_1 \cup S_3) \setminus (S_2 \cup S_3)\)
\(\land\)
\((S_1 \cup S_3) \setminus (S_2 \cup S_3) \subseteq (S_1 \setminus S_2) \cup S_3\)
//
2: 自然言語記述
任意のセット（集合）たち\(S_1, S_2, S_3\)に対して、\((S_1 \setminus S_2) \cup S_3\)は必ずしも\((S_1 \cup S_3) \setminus (S_2 \cup S_3)\)ではないが、\((S_1 \cup S_3) \setminus (S_2 \cup S_3) \subseteq (S_1 \setminus S_2) \cup S_3\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \((S_1 \setminus S_2) \cup S_3 \neq (S_1 \cup S_3) \setminus (S_2 \cup S_3)\)である1つの例を見る; ステップ2: \((S_1 \cup S_3) \setminus (S_2 \cup S_3) \subseteq (S_1 \setminus S_2) \cup S_3\)であることを見る。
ステップ1:
第1パートに対しては、1つの反例で十分である。
\(S_1 = \emptyset\)、\(S_2 = \emptyset\)、\(S_3 \neq \emptyset\)としよう。\((S_1 \setminus S_2) \cup S_3 = S_3 \neq \emptyset\)、しかし、\((S_1 \cup S_3) \setminus (S_2 \cup S_3) = S_3 \setminus S_3 = \emptyset\)。
ステップ2:
任意の\(p \in (S_1 \cup S_3) \setminus (S_2 \cup S_3)\)に対して、\(p \in S_1\)または\(p \in S_3\)、しかし、\(p \notin S_3\)、したがって、\(p \in S_1\)、\(p \notin S_2\)、したがって、\(p \in S_1 \setminus S_2\)、したがって、\(p \in (S_1 \setminus S_2) \cup S_3\)。
4: 注
\((S_1 \setminus S_2) \cap S_3 = (S_1 \cap S_3) \setminus (S_2 \cap S_3)\)は成立する、別の記事内で証明されたとおり。
