2024年12月22日日曜日

917: セット（集合）マイナスセット（集合）とセット（集合）のユニオン（和集合）は、必ずしも、第1セット（集合）と第3セット（集合）のユニオン（和集合）マイナス第2セット（集合）マイナス第3セット（集合）のユニオン（和集合）ではないが、それを包含する

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セット（集合）マイナスセット（集合）とセット（集合）のユニオン（和集合）は、必ずしも、第1セット（集合）と第3セット（集合）のユニオン（和集合）マイナス第2セット（集合）マイナス第3セット（集合）のユニオン（和集合）ではないが、それを包含することの記述/証明

話題


About: セット（集合）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のセット（集合）マイナス任意のセット（集合）と任意のセット（集合）のユニオン（和集合）は、必ずしも、第1セット（集合）と第3セット（集合）のユニオン（和集合）マイナス第2セット（集合）マイナス第3セット（集合）のユニオン（和集合）ではないが、それを包含するという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
S1: ∈{ 全てのセット（集合）たち }
S2: ∈{ 全てのセット（集合）たち }
S3: ∈{ 全てのセット（集合）たち }
//

ステートメント（言明）たち:
必ずしも以下ではない、(S1∖S2)∪S3=(S1∪S3)∖(S2∪S3)
∧
(S1∪S3)∖(S2∪S3)⊆(S1∖S2)∪S3
//

2: 自然言語記述


任意のセット（集合）たちS1,S2,S3に対して、(S1∖S2)∪S3は必ずしも(S1∪S3)∖(S2∪S3)ではないが、(S1∪S3)∖(S2∪S3)⊆(S1∖S2)∪S3。

3: 証明


全体戦略: ステップ1: (S1∖S2)∪S3≠(S1∪S3)∖(S2∪S3)である1つの例を見る; ステップ2: (S1∪S3)∖(S2∪S3)⊆(S1∖S2)∪S3であることを見る。

ステップ1:

第1パートに対しては、1つの反例で十分である。

S1=∅、S2=∅、S3≠∅としよう。(S1∖S2)∪S3=S3≠∅、しかし、(S1∪S3)∖(S2∪S3)=S3∖S3=∅。

ステップ2:

任意のp∈(S1∪S3)∖(S2∪S3)に対して、p∈S1またはp∈S3、しかし、p∉S3、したがって、p∈S1、p∉S2、したがって、p∈S1∖S2、したがって、p∈(S1∖S2)∪S3。

4: 注


(S1∖S2)∩S3=(S1∩S3)∖(S2∩S3)は成立する、別の記事内で証明されたとおり。

参考資料
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